Polinomios
Hola! Mi problemea es el siguiente:
sea P(x)= A*B con A y B pertenecientes a Z[X] tal que el grado de A es 3 y el de B es 2, B es mónico, 1+2i y 1+raiz cuadrada de 3 son raices de P(x), B(x)>0 para todo x real y P(i)=-28-36i. Hallar A, B y P
sea P(x)= A*B con A y B pertenecientes a Z[X] tal que el grado de A es 3 y el de B es 2, B es mónico, 1+2i y 1+raiz cuadrada de 3 son raices de P(x), B(x)>0 para todo x real y P(i)=-28-36i. Hallar A, B y P
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Respuesta de bocasmar
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Un problema muy bonito.
Veamos:
1. Si P(x) = A(x)*B(x). Las raíces de A serán raíces de P, y las de B también. Esto quiere decir que las raíces de P(x) lo serán de A(x) o, en caso contrario, tendrán que serlo de B.
2. Puesto que el polinomio B(x) es siempre positivo, sólo puede tener raíces complejas. Por tanto, 1+sqrt(3) es raíz de A.
3. El otro día vimos, en otra de tus preguntas, que si 1+sqrt(3) es raíz del polinomio A. Entonces 1-srt(3) también lo será. Por tanto, puesto que A es tercer grado tendrá la expresión:
A=
(x-(1+sqrt(3)))*(x-(1-sqrt(3)))*(a*x+b)
=(x^2-2*x-2)*(a*x+b)
4. Además 1+2i no es raíz de A(x) pues entonces también lo tendría que ser
1-2i y con eso A(x) tendría 4 raíces lo cual es imposible pues A(x) es de tercer grado.
5. Por tanto 1+2i es raíz de B(X) que también tiene 1-2i y por ser mónico tiene la expresión:
B(X) = (x-(1+2i))*(x-(1-2i)) = x^2-2*x+5. (ESTE YA ESTA)
6. Ahora se construye P(x) = A(x)*B(x)= (x^2-2*x-2)*(a*x+b)*x^2-2*x+5 =
x^5*a+(b-4*a)*x^4+(-4*b+7*a)*x^3+
(-6*a+7*b)*x^2+(-10*a-6*b)*x-10*b
7. Evaluando en x=i se obtiene:
P(i) = 2*a-16*b-(2*b+16*a)i.
8. COn lo cual a y b deben satisfacer las condicioens:
2*a-16*b=-28
2*b+16*a=36
9. Este es un pequeño sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es: a=2 y b=2.
10. Con lo cual el polinomio A(x) es (x^2-2*x-2)*(a*x+b)=2*x^3-2*x^2-8*x-4
11. Y el polinomio P(x)=
2*x^5-6*x^4+6*x^3+2*x^2-32*x-20
Veamos:
1. Si P(x) = A(x)*B(x). Las raíces de A serán raíces de P, y las de B también. Esto quiere decir que las raíces de P(x) lo serán de A(x) o, en caso contrario, tendrán que serlo de B.
2. Puesto que el polinomio B(x) es siempre positivo, sólo puede tener raíces complejas. Por tanto, 1+sqrt(3) es raíz de A.
3. El otro día vimos, en otra de tus preguntas, que si 1+sqrt(3) es raíz del polinomio A. Entonces 1-srt(3) también lo será. Por tanto, puesto que A es tercer grado tendrá la expresión:
A=
(x-(1+sqrt(3)))*(x-(1-sqrt(3)))*(a*x+b)
=(x^2-2*x-2)*(a*x+b)
4. Además 1+2i no es raíz de A(x) pues entonces también lo tendría que ser
1-2i y con eso A(x) tendría 4 raíces lo cual es imposible pues A(x) es de tercer grado.
5. Por tanto 1+2i es raíz de B(X) que también tiene 1-2i y por ser mónico tiene la expresión:
B(X) = (x-(1+2i))*(x-(1-2i)) = x^2-2*x+5. (ESTE YA ESTA)
6. Ahora se construye P(x) = A(x)*B(x)= (x^2-2*x-2)*(a*x+b)*x^2-2*x+5 =
x^5*a+(b-4*a)*x^4+(-4*b+7*a)*x^3+
(-6*a+7*b)*x^2+(-10*a-6*b)*x-10*b
7. Evaluando en x=i se obtiene:
P(i) = 2*a-16*b-(2*b+16*a)i.
8. COn lo cual a y b deben satisfacer las condicioens:
2*a-16*b=-28
2*b+16*a=36
9. Este es un pequeño sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es: a=2 y b=2.
10. Con lo cual el polinomio A(x) es (x^2-2*x-2)*(a*x+b)=2*x^3-2*x^2-8*x-4
11. Y el polinomio P(x)=
2*x^5-6*x^4+6*x^3+2*x^2-32*x-20
