Integral

Que tal maijor, ayudame con esta por favor:
Cual es la
Integral de sqrt(5-y^2) dy
?
Gracias.

1 Respuesta

Respuesta
1
Esta integral es el tipo de integrales que se resuelven con cambios de variable trigonométricos.
Primero debes sacar de factor común adentro de la raíz: 5. Luego podes sacar la raíz de 5 multiplicando por la primer raíz.
Por lo tanto el integrando pasa a ser:
Sqrt(5)*sqrt(1-(y/sqrt(5))^2) dy
ahora haces cambio de variable: u=y/sqrt(5)
entonces te queda:
sqrt(5)*sqrt(1-u^2)*sqrt(5) du
multiplicando las raices:
5*sqrt(1-u^2) du
para integrar la raiz de esta forma podés hacer cambio de variable x=ArcCos(u)
por lo tanto sustituis: u=cos(x) y el du por -sen(x)*dx
entonces queda:
5*sqrt(1-cos(x)^2)*(-sen(x))*dx
igual a:
-5*sen(x)^2 dx
la primitiva de esto es:
-5*(x-sen(x)*cos(x))/2
y ahora deshacemos el cambio de variable: x=Arccos(y/sqrt(5))
-5*(Arcos(y/sqrt(5))-sen(y/sqrt(5))*y/sqrt(5))/2
Espero que te haya servido, y si no entendés algo manda otra pregunta y lo vemos
Ese cambio de variable "x=arcCos (u)" por "sqrt(1-u^2)" es parte de una serie de cambios de variable similares, ¿no es así? Creo, los cambios dependían del signo de "u^2"... ¿cuáles son esos otros cambios? (Si puedes darme un link a un documento en la red, mejor)
Gracias...
Es verdad... hay otros tipos de cambios de variable similares, pero todos se basan en usar la identidad trigonométrica: "sen(x)^2+cos(x)^2=1". Por lo tanto podrías haber hecho el cambio de variable: "x=ArcSen(1-u^2) y resolverla igual.
Cuando el signo de u^2 es distinto ("sqrt(1+u^2)") es conveniente usar identidades trigonométricas de funciones hiperbólicas: "cosh(x)^2-senh(x)^2=1". Por lo tanto con el cambio de variable: x=Arcsenhip(u) la raíz te queda: "cosh(x)". ¿Lo entendiste?...
Quisiera saber si entendiste el resto del proceso para calcular la integral.
Y respecto a los links, no conozco nada particular para recomendarte... pero seguramente si buscás en páginas de universidades de facultades de ingeniería podes encontrar algo. Por ejemplo páginas de Uruguay.
Si, entendí las identidades. Me ocupare de buscar en la red más acerca de ello. Gracias por la recomendación y por la explicación, me pareció excelente, sin duda seguiré en contacto contigo. Muchas gracias y hasta luego!

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas