Volumen de una región

Para calcular el volumen de un sólido de revolución, hay que descomponerlo es pedazos cuyos volúmenes que se puedan calcular.
Fíjate lo que ocurre al rotar y un punto de coordenadas (x;y) alrededor del eje y:
¿Cómo el punto está a una distancia? ¿x? Del eje y ( en este caso será x=y - y^2) describe una circunferencia.
¿Esa circunferencia tiene radio? ¿x? Y área:
A= Pi x^2
Para que tenga volumen, en lugar de hacer girar un punto hacemos girar un pequeño segmentito de altura dy (diferencial de y) Entonces nuestra circunferencia se transforma en un delgado cilindro de altura dy que tiene un pequeño volumen:
dV= Pi x^2 . dy.
¿Cuándo hacemos esto con muchos puntos de la curva nuestro solidó de revolución queda formado por muchas rodajas cilíndricas dispuestas horizontalmente,? ¿Ensartadas? En el eje y. El radio x de cada rodaja depende de y, según x = y-y^2
La suma de todos estos volúmenes se calcula con la integral:
V = Integral Pi x^2 . dy
V = Pi Integral x^2 . dy
Entonces la integral es:
V = Pi Integral ( y - y^2 )^2 . dy
Los limites de integración no están especificados pero no tendría sentido un radio negativo. Como y - y^2 es positiva solo entre cero y uno esos serán nuestros limites de integración.
Por lo tanto el volumen pedido es:
V = Pi . Integral entre 0 y 1 de: ( y - y^2 )^2 . dy
Para calcular la integral expandimos el cuadrado del binomio:
( y - y^2 )^2= y^2- 2 y^3+y^4
que integrado da
1/3 y^3- 2/4 y^4 + 1/5 y^5
que en y=0 vale cero y en y=1 vale 1/3-1/2+1/5= 8/15-1/2=1/30
Por lo tanto es
V= Pi (1/30) -0
V=Pi/30