Halle el quinto término de la sucesión geométrica: (x-4); x; (x+2);…
Pregunta de sucesiones medio dudosa que genera intriga me ayudarían mucho con la respuesta
Respuesta
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Lo que se me ocurre, es aprovechar el tema que te dicen que la sucesión es geométrica,
$$\begin{align}&a \cdot r^k ...k \in N_0\\&\text{Además, sabemos que en 2 términos sucesivos de una geométrica, el cociente entre ambos es r, ya que}\\&\text{en general tenemos que:}\\&S_n = a \cdot r^n\\&S_{n+1} = a \cdot r^{n+1}\\&\frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{a \cdot r^{n+1}}{a \cdot r^{n}} = r\\&\text{En este caso tenemos}\\&S_0=x-4 \\&S_1 = x \\&S_2 = x+2\\&\frac{S_1}{S_0} = \frac{x}{x-4} = r\\&\frac{S_2}{S_1} = \frac{x+2}{x} = r\\&\frac{x}{x-4} = \frac{x+2}{x}\\&x^2 = (x-4)(x+2)\\&x^2 = x^2-2x-8 \\&x = -4\\&\text{Si ahora reconstruimos la sucesión, tenemos:}\\&S_0=-4-4 = -8 = a \cdot r^0 = a\\&S_1 = -4 = a \cdot r \to r = \frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}\\&\text{Por lo que ya tenemos todo para reconstruir la expresión}\\&S_n = a \cdot r^n = -8 \cdot (\frac{1}{2})^n\\&\text{Por lo que el quinto término será:}\\&S_4 = -8 \cdot (\frac{1}{2})^4 \text{ (el quinto término es }S_4 \text{ ya que empieza en 0, te queda la cuenta)}\\&\\&\end{align}$$