Diferencia fecha contrato y fecha alta seguridad social

Estoy en una situación de previsibles despidos ne la compañía en la qe estoy

Revisando mi contrato y nóminas me he dado cuenta de que hay una diferencia entre la fecha de contrato y alta en la segurdad social, os detallo:

- Fecha de contrato 6 de Junio

- Fecha de alta en la seguridad social 20 de Junio

- Nomina: detalla alta en Seguridad Social el 20 de Junioy me pagan por los días del 20 a final de Junio

A la hora de calcular la indemnización, me gustaría preguntaros si tiene sentido reclamar a la empresa y cual es el canal para ello