Resuelva lo siguiente mediante la solución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Es una ecuación no homogénea de segundo orden, voy a resolverla con el método de coeficientes indeterminados

y"+3y'+6y=e^-3x

Primero hallemos la solucion particular, cuando lo de la izquierda es cero

r^2+3r+6=0 

Tenemos soluciones imaginarias para el polinomio característico((-3+-sqrt(15)i)/2), la solución particular es de la forma

$$\begin{align}&yc=C_1e^{\frac{-3x}{2}}\cos\bigg(\frac{\sqrt{15}x}{2}\bigg)+C_2e^{\frac{-3x}{2}}sen\bigg(\frac{\sqrt{15}x}{2}\bigg)\end{align}$$

Ahora hallemos la solucion de la forma yp=Ae^-3x

Y sustituimos eso en la ecuacion diferencial

$$\begin{align}&y"+3y'+6y=e^{-3x}\\&(Ae^{-3x})"+3(Ae^{-3x})'+6Ae^{-3x}=e^{-3x}\\&9Ae^{-3x}-9Ae^{-3x}+6Ae^{-3x}=e^{-3x}\\&6Ae^{-3x}=e^{-3x}\\&A=\frac{1}{6}\end{align}$$

La solucion es y(x)=yc+yp , en yp sustituyes el valor de A que nos dio