Cómo determinar en que intervalos se cumple que x^3-4x+1<|x^2-x+1|

x^3-4x+1<|x^2-x+1| es equivalente a

x^3-4x+1<x^2-x+1 o x^2-x+1< -(x^3-4x+1)

Por tanto.

A) x^3-4x+1<x^2-x+1 -> x^3-x^2-3x<0 ->x(x^2-x-3)<0. Un producto es <0 si ambos factores tienen signo distinto. Dos casos;

        x<0 y x^2-x-3>0 o x>0 y x^2-x-3<0.

Ahora calcularíamos las raíces y veríamos en que zonas se verifica la condición.

B)x^2-x+1< -(x^3-4x+1) 

x^3+x^2-5x+2<0. Calculariamos. Las raices y veriamos en que zonas se verifica la desigualdad o condicion.

;)
Hola cesc!
El polinomio del segundo miembro no tiene raíces, y al ser una parábola cóncava (U) implica que siempre es positivo. Luego:

$$\begin{align}&|x^2-x+1|=x^2-x+1\\&\\&la\ inecuación \ queda:\\&x^3-4x+1< x^2-x+1\\&x^3-x^2-3x<0\\&\\&x(x^2-x-3)<0\\&\\&raíces\ P(x)=x(x^2-x-3):\\&x_1=0\ ;\\&x_2= \frac{1 - \sqrt{13}} 2\simeq-1,3\ ; \\&x_3=\frac{1 +\sqrt{13}} 2 \simeq2,3\\&intervalos:\\&(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}} 2)==>P(-10)=(-10)(10^2+10-3)=(-)(+)=-\\&(\frac{1 - \sqrt{13}} 2,0)\ ===>P(-1)=(-)(-)=+\\&(0,\frac{1 +\sqrt{13}} 2)\ ===> P(2)=(+)(-)=-\\&(\frac{1 + \sqrt{13}} 2,+\infty)\ ===> P(10)=(+)(+)=+\\&\\&Solución=(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}} 2)\ \cup\ (0,\frac{1 +\sqrt{13}} 2)\end{align}$$

Saludos

;)

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