Geometría analítica. Hallar puntos de recta

Kary, la expresión de la distancia de un punto a una recta lo tenés en la otra pregunta que hiciste, dicho esto voy a calcular directamente cuales son, pero primero quiero que veas que si no hay más condiciones, van a ser infinitos estos puntos (dada una recta, vas a encontrar una recta paralela que pase por arriba y otra que pase por debajo que estén a la distancia pedida)

$$\begin{align}&\frac{3}{5}=d(p,r)=\frac{|2p_x - 1p_y -3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\&\frac{3}{5}=d(p,r)=\frac{|2p_x - 1p_y -3|}{\sqrt{5}}\\&\frac{3 \sqrt{5}}{5}=|2p_x - p_y -3|\\&Caso\ 1: (2p_x - p_y -3) >0\\&\frac{3 \sqrt{5}}{5}=2p_x - p_y -3\\&\frac{3 \sqrt{5}}{5}+3=2p_x - p_y\\&p_y=2p_x - \frac{15 + 3 \sqrt{5}}5\\&Caso\ 2: (2p_x - p_y -3) <0\\&\frac{3 \sqrt{5}}{5}=-(2p_x - p_y -3)\\&-\frac{3 \sqrt{5}}{5}+3=2p_x - p_y\\&p_y=2p_x - \frac{15 - 3 \sqrt{5}}5\\&\text{Y esas son las dos rectas, que podés rescribir como}\\&y_1=2x - \frac{15 + 3 \sqrt{5}}5\\&y_2=2x - \frac{15 - 3 \sqrt{5}}5\end{align}$$

Salu2

Tienes razón, este tema no lo estoy entendiendo muy bien, solo es esto que me esta complicando para mi examen en unos días.

El problema contenia tambien la misma recta anterior de 3x+4y-7=0.

O sino otro problema que me interesa más sería, dada la recta r) y=x-1, halle punto de r que dista 5 de (0,0).

Y no molesto más. Gracias por la paciencia y dedicación.

Te dejo la última pregunta acá, pero si tienes más debes hacerlas en una nueva pregunta

Si planteás la fórmula que ecribimos antes no vas a llegar a nada concreto, acá lo que conviene hacer es plantear una circunferencia centrada en el punto en cuestión (0,0) que tenga el radio buscado (5) y ver cual es la intersección con la recta.

Antes de hacer las cuentas, es preciso que entiendas lo que puede pasar con la cantidad de soluciones, y son:

2 soluciones: creo que es lo que va a pasar y es que la recta 'corte' a la circunferencia en 2 lugares

1 solución: la recta es tangente a la circunferencia

0 soluciones: la circunferencia está tan separada de la recta que no llega a cortarla

Ahora vamos con las cuentas...

$$\begin{align}&Circunferencia: x^2+y^2=5^2\\&Recta: y=x-1\\&\text{Remplazo la recta en la circunferencia}\\&x^2+(x-1)^2=25\\&x^2+x^2-2x+1=25\\&2x^2-2x-24=0\\&\text{Divido todo por 2}\\&x^2-x-12=0\\&Resolvente:\\&x_1=0.5 \to y=0.5-1=-0.5\\&x_2=-12.25 \to y=-12.25-1=-13.25\\&\text{Por lo tanto tenemos 2 soluciones posibles que son:}\\&p_1: (0.5, -0.5)\\&p_2: (-12.25, -13.25)\end{align}$$

Salu2

¡Gracias! No era lo que estaba buscando, porque no es en base a circunferencia, sino solo a recta. Hago de nuevo la pregunta en una nueva.

Gracias por todo