Asíntotas de la siguiente función

Las asíntotas verticales en una función fraccionaria suceden cuando el denominador vale 0, en este caso

x^2 + 1 = 0

x^2 = -1 no tiene solución, por lo tanto no tiene asíntotas verticales

Antes de ver si tiene asíntotas oblicuas, vamos a ver si tiene horizontales

$$\begin{align}&\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x^2+1}=\pm \infty\\&\text{No tiene asíntotas horizontales, veamos si tiene oblicuas}\\&\text{La recta asíntota sería de la forma y=mx + b}\\&m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x(x^2+1)}=1\\&b =  \lim_{x \to \pm \infty} {f(x)} - m{x} =  \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x^2+1}-x=\\&\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3-x(x^2+1)}{x^2+1}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3-x^3-x}{x^2+1}=\\&\lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x}{x^2+1}=0\\&\text{Por lo tanto la asintota oblicua es }y=x\end{align}$$

Te dejo la imagen de la función y su asíntota

Salu2