Una lata de tapa circular y de cuerpo cilíndrico debe contener 1000 cm cúbicos. Los radios de las tapas deben tener 0.25cm
Optimización
Una lata de tapa circular y de cuerpo cilíndrico debe contener 1000 cm cúbicos. Los radios de las tapas deben tener 0.25cm excedente para poder sellar bien la lata. La hoja del material con que se harán las latas debe ser 0.25 cm más largo para sellar la lata.
Determina el valor a optimizar de:
El volumen que debe contener la lata, la cantidad de material para construir la lata y el radio de las tapas
1 Respuesta
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola karla!
$$\begin{align}&1000= \pi r^2 h\ ==> h= \frac{1000}{ \pi r^2}\\&\\&\text{se ha de optimitzar el área, que ha de ser mínima}\\&\\&A=2 \pi(r+0.25)^2+2 \pi (r + 0.25)(h+0.25)= f(r,h)\\&\\&A(r)=2 \pi (r+0.25)^2+2 \pi (r + 0.25)( \frac {1000}{ \pi r^2}+0.25)\\&\\&\\&A'(r)=4 \pi (r + 0.25)+2 \pi( \frac {1000}{ \pi r^2}+0.25)+ 2 \pi (r + 0.25) \Big[ \frac{1000}{\pi} (-2r^{-3}) \Big]\\&\\&= 2 \pi \Bigg( 2r + 0.50+ \frac {1000}{ \pi r^2}+ 0.25- \frac {2000 r^{-2}}{\pi}- \frac{500 r^{-3}}{\pi} \Big)\\&\\&2 \pi \Bigg( 2r + 0.75+ \frac {1000}{ \pi r^2}- \frac {2000 }{\pi r^2}- \frac{500 }{\pi r^3} \Big)\\&\\&A'(r)=0\\&2r + 0.75- \frac {1000 }{\pi r^2}- \frac{500 }{\pi r^3}=0\\&Multiplicándola \ por \ \pi r^3\\&2 \pi r^4+0.75 \pi r^3-1000r-500=0\\&\\&==> Calculadora:\\&r=5.4577\ cm\\&\\&h= \frac{1000}{ \pi r^2}=10.686\ \ cm\end{align}$$Saludos
;)
;)
