En una ciudad de 9000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran.

Eri, veamos lo que nos dicen...

$$\begin{align}&f(x) = A2^x\\&\text{Fijate que si empezás con A, luego tendrás 2A, 4A, etc, así que es lo pedido}\\&\text{El valor A, es la cantidad inicial de personas, como no nos dicen nada, podemos considerar que en el tiempo inicial, solo había 1 persona enterada, esto lo escribimos como}\\&f(0) = 1 = A2^0=A\\&\text{Por lo tanto la función general queda como}\\&f(x) = 2^x\\&a) f(12) = 2^{12}=4096\\&b) f(x) = 9000\\&9000 = 2^x\\&log_2(9000)=log_2(x)\\&log_2(9000)=(x)\\&\text{La calculadora no tiene logaritmo en base 2, pero por propiedades tenemos que lo anterior es igual a}\\&\frac{log(9000)}{log(2)}=(x)\\&\text{Y ahora podés usar el logaritmo en cualquier base, siempre que respetes que sea la misma}\\&13.13=x\\&\text{es lógico, ya que fijate que en el punto anterior (f(12)) era 4096, así que está bien que sea un poco más de 13}\\&\text{Acá depende como debas expresarlo, si son horas 'completas', deben pasar 14hs, ya que a las 13 todavía}\\&\text{no se enteraron todos, la otra opción es que conviertas los decimales (0.13) a minutos y lo muestres como hh:mm:ss}\end{align}$$

Salu2