Desigualdades y demostraciones con reales positivos
Tengo dos ejercicios a los que no he podido llegar a la demostración, me quedo estancado y no puedo avanzar, dicen así:
1.- Pruebe que si
$$\begin{align}&a \in\mathbb{R^+} ,b\in\mathbb{R}^+\end{align}$$son números tales que a<b entonces
$$\begin{align}&a^2 < b^2\end{align}$$2.- Demuestre que si
$$\begin{align}&a \ge0, b\ge 0\end{align}$$entonces
$$\begin{align}&a^2 = b^2\end{align}$$si y sólo si a=b.
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Veamos...
$$\begin{align}&a,b \in R^+\\&a < b\\&a\cdot a < b \cdot a < b \cdot b\\&a^2 < b^2\\&---\\&a,b \ge 0\\&a^2 = b^2 \iff a=b\\&\Leftarrow\\&a=b \to a \cdot a = a \cdot b\to a^2= a\cdot b \text{ (pero a=b)}\\&\to a^2=b^2\\&\Rightarrow\\&a^2=b^2 \to a=\pm b \text{ (pero a,b}\ge0)\\&\to a=+b \to a=b\end{align}$$Te confieso que no soy muy amantes de las demostraciones teóricas, así que por las dudas verifica que no esté omitiendo algo...
Salu2