Demuestra por inducción que para todo entero n>=1 se verifica:

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Hola Ivan!

Veamos si se cumple para n=1 ==> 

$$\begin{align}&\sum_{i=1}^1(2i-1)^2=(2·1-1)^2=1\\&\\&\frac{n(2n-1)(2n+1)} 3=\frac{1(1)(3)} 3=1\\&Si \ cumple\\&\\&Para \ n=2\\&\sum_{i=1}^2(2i-1)^2=1^2+3^2=10\\&\\&\frac{n(2n-1)(2n+1)} 3=\frac{2(3)(5)}3=10\\&Si \cumple\\&\\&Supongamos \ que \ se \ cumple \ para \ n=k\\&\sum_{i=1}^k(2i-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)} 3\\&veamos \ con \ esta \ hipótesis ,\ si \ se \ cumpliría \ para \ n=k+1\\&\\&\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)^2 \stackrel{?}{=} \frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}3=\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)} 3\\&\\&esto \  último \ es \ a\ donde \ tenemos \ que \ llegar:\\&\\&dem:\\&sumamos \ hasta \ k, \ y \ separamos \ el \ último \ término(k+1)\\&\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)^2=\sum_{i=1}^{k}(2i-1)^2+\Big[2(k+1)-1 \Big]^2=\\&\\&aplicamosº la \ hipótesis\\&\\&=\frac{k(2k-1)(2k+1)} 3+\Big[2k+1 \Big]^2=\\&sumando\\&\\&=\frac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2} 3=\\&\\&factor \ común\\&\\&=\frac{(2k+1)} 3· \Bigg[ k(2k-1)+3(2k+1) \Bigg]=\\&\\&=\frac{(2k+1)(2k^2+5k+3)} 3\\&\\&factorizando \ el \ polinomio \ de \ 2º\ grado\\&\\&=\frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)} 3\\&\\&c.q.d.\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

c.q.d. (como  queríamos demostrar)