Problema de Límites. Calcular el siguiente límite...

Podemos hacer uso de los logarítmos, podemos llamar

$$\begin{align}&y=(e^{x}+x^{3})^{\frac{1}{x}}\end{align}$$

Si aplicamos el logarítmo natural a ambos lados,

$$\begin{align}&ln(y)=ln(e^{x}+x^{3})^{\frac{1}{x}}\end{align}$$

haciendo uso de las propiedades de los logarítmos podemos bajar el exponente a multiplicar y nos queda,

$$\begin{align}&ln(y)=\frac{1}{x}ln\left(e^{x}+x^{3}\right)=\frac{ln(e^x+x^3)}{x}\\&\end{align}$$

Entonces podemos calcular el límite de ésto,

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}{\frac{ln(e^{x}+x^{3})}{x}}=\frac{\infty}{\infty}\end{align}$$

podemos aplicar la regla de L`Hopital, entonces derivamos el numerador y el denominador INDEPENDIENTEMETE, NO COMO LA DERIVADA DEL COCIENTE CUIDADO¡

$$\begin{align}&\frac{d}{dx}\left(\frac{ln(e^{x}+x^{3})}{x}\right)=\frac{\frac{e^{x}+3x^{2}}{e^{x}+x^{3}}}{1}=\frac{e^{x}+3x^{2}}{e^{x}+x^{3}}\end{align}$$

si calculas el límite nos va a quedar la misma indeterminación, entonces podemos volver a aplicar la regla de l`Hopital

$$\begin{align}&\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}+3x^{2}}{e^{x}+x^{3}}\right)=\frac{e^{x}+6x}{e^{x}+3x^{2}}\end{align}$$

si calculamos el límites nos vuelve a quedar la misma indeterminanción volvamos a derivar,

$$\begin{align}&\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}+6x}{e^{x}+3x^{2}}\right)=\frac{e^{x}+6}{e^{x}+6x}\end{align}$$

nos queda la misma indeterminación entonces, volvemos a derivar

$$\begin{align}&\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}+6}{e^{x}+6x}\right)=\frac{e^{x}}{e^{x}+6}\end{align}$$

antes de calcular el límite, podemos dividir al numerador y al denominador para e^x, así no se altera nada,

$$\begin{align}&\frac{\frac{e^{x}}{e^{x}}}{\frac{e^{x}}{e^{x}}+\frac{6}{e^{x}}}=\frac{1}{1+\frac{6}{e^{x}}}\end{align}$$

ahora, sabiendo el siguiente límite sabemos que,

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{x}}=0\end{align}$$

estás de acuerdo, es como que si divido cualquier número el que sea, divido para un número extramadamente gigantesco es un valor muy cercano a cero, sabiendo ésto, si calculas el límite de ésta última expresión nos queda,

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{1+\frac{6}{e^{x}}}}=\frac{1}{1+0}=1\end{align}$$

ahora si te acuerdas el reemplazado que hicismo,

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}{ln(y)}=1\\&entonces:\\&\lim_{x\to\infty}{y}=e\end{align}$$

y eso sería todo, espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas, recuerda que la introducción al cálculo pone a prueba todo lo que aprendiste en la escuela y colegio, el uso del álgebra te puede ayudar¡..

Suerte¡