Resolver utilizando matrices y aplicando la inversa de una matriz en el caso que sea necesario
Me pueden ayudar a resolver estos ejercicios no se bien como realizarlos
1)
Luis compra 2 lápices, 1 pluma y 1 goma, pagando por ello $5 000, Juan compra 1 lápiz, 3 plumas y 2 gomas iguales a los de Luis en $9 000. Por último Pedro también compra 3 lápices, 1 pluma y 2 gomas iguales a los de Luis y Juan, pagando un total de $7 000. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
2)
La señora Juana compra 3 kg de frijol, 2 kg de sal y 1 kg de arroz por $13 000. La Señora Petra compra 2 kg de frijol, 1 kg de sal y 1 kg de arroz pagando un total de $9 000. Otra señora compra 1 kg de frijol, 1 kg de sal y 1 kg de arroz pagando un total de $6 000. Si las tres señoras compraron en la misma tienda, ¿cuál es el precio por kg de cada producto?
1 Respuesta
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¡Hola Alexander!
De estos un ejercicio por pregunta ya es mucho trabajo.
No conocemos el precio de cada elemento, lo llamaremos X, es un vector de 3 componentes. Y llamaremos T a los totales pagados y A a la matriz en la que cada fila tiene las cantidades que compro una persona.
La ecuación matricial es entonces
AX = T
Para despejar X multiplicaremos por la matriz inversa de A si existe
A^-1·AX = A^-1·T
X = A^-1·T
Luego debemos calcular la inversa de A que es
2 1 1
1 3 2
3 1 2
El determinante es
12 + 6 + 1 - 9 - 2 - 4 = 4
Y los menores son, por ejemplo el primero 3·2-2·1= 4
el segundo de la primera fila es -(1·2-2·3) = 4
El tercero de la primera fila es 1·1-3·3 = -8
Y haciendo eso tenemos la matriz
4 4 -8
-1 1 1
-1 -3 5
pero hay que trasponerla
4 -1 -1
4 1 -3
-8 1 5
y dividirla por el determinante
1 -1/4 -1/4
1 1/4 -3/4
-2 1/4 5/4
Y multiplicar esta matriz por T = (5000, 9000, 7000) pero puesto en columna, es resultado es
5000 - 9000/4 - 7000/4 = 5000 - 2250 -1750 = 1000
5000 + 9000/4 - 3·7000/4 = 5000 + 2250 - 5250 = 2000
-2·5000 + 9000/4 + 5·7000/4 = -10000 + 2250 + 8750 = 1000
Luego el lápiz cuesta 1000, la pluma 2000 y la goma 1000
Los he comprobado mentalmente y está bien.
Y eso es todo, saludos.
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