Como resolver un problema de función exponencial
Me dieron el siguiente ejercicio, pero no tengo idea de como calcular el decrecimiento.
Una especie de mosquitos de una isla africana se reproduce triplicandose cada 24hs, al cabo de 8 días de arribar a la isla un equipo de investigadores, consigue implementar un sistema de fumigación que afecta a la especie de tal forma que impide su reproducción, y la población empieza a decrecer en un 30% diario. Si cuando llegaron los investigadores, estimaron una existencia de 7000 mosquitos, se pide:
a)Desarrollar una función que represente parte del proceso.
b)Estimar un grafico.
c)Responde cuanto tiempo llevara su extinción.
Teniendo en cuenta que para la ultima, hay que utilizar los 7000 mosquitos inicial.
1 Respuesta
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¡Hola Evelin!
Los primeros 8 días la colonia de mosquitos crecerá en progresión geométrica de razón 3.
La formula de la población es:
$$\begin{align}&P(t) = P_0·r^t\\&\\&P(t) = 7000·3^t \quad para\;0\le t\le 8\\&\\&\text{Y a partir del día 8 la razón es 0.7}\\&\\&\text{Ya que al disminuir el 30 se pasa de}\\&\text{de 1 a 0.7}\\&\\&\text{Entonces la población inicial es la de P(8):}\\&\\&P(t)=P(8)·0.7^{t-8} \quad 8\le t\\&\\&\text{Calculamos P(8)}\\&\\&P(8) = 7000·3^8 =45927000\\&\\&P(t)=45927000\,·\,0.7^{t-8} \quad para \;t\gt 8\\&\\&\\&\text {Resumiendo, estos son los dos trozos}\\&\\&P(t) = 7000·3^t \qquad \qquad \;\;\;para\;0\le t\le 8\\&P(t)=45927000\,·\,0.7^{t-8} \quad para \;t\gt 8\\&\\&\end{align}$$·
b) Esta es la gráfica.
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c) Nos dicen que se extingue cuando vuelva a haber 7000 mosquitos
$$\begin{align}&7000=45927000\,·\,0.7^{t-8}\\&\\&\frac{7000}{45927000}= 0.7^{t-8}\\&\\&\frac{1}{6561}=0.7^{t-8}\\&\\&\text{Extraemos logaritmos neperianos}\\&\\&ln \frac{1}{6561}= (t-8)ln\,0.7\\&\\&t-8= \frac{ln\,1-ln \,6561}{ln\,0.7}\\&\\&t-8=\frac{-ln\,6561}{ln\, 0.7}=24.6412\, días\end{align}$$Esos son los días desde que se empieza a fumigar, supongo que son esos los que quieren. Si se refieren a los días desde que llegan a la isla serán 8 más.
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