En condiciones ideales una colonia de bacterias se triplica cada dos hora,supóngase que hay a Número Naturalcantidad de bacteria
Obtén la función que modela el comportamiento y justifica el porqué de esta elección.
• ¿Cuál es el tamaño de la población después de 8 horas?
• ¿Cuál es el tamaño después de t horas?
• Dar un aproximado de la población después de 36 horas.
• Proponer un número de bacterias para replantear los incisos anteriores.
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¡Hola Liriel!
a)
A las 2 horas será 3 veces la población inicial
A las 4 horas será 9 veces la población inicial
A las 6 horas será 27 veces la población inicial
A las 8 horas será 81 veces la población inicial
b)
La función del número de bacterias en el tiempo es una función exponencial
$$\begin{align}&P(t)=P_0e^{kt}\\&\\&\text{A las 2 horas será el triple que a la hora 0}\\&\\&P(2) = 3P_0= P_0e^{2k}\\&\\&3 = e^{2k}\\&\\&ln\,3=2k\\&\\&k = \frac{ln\,3}{2}=ln \sqrt 3\\&\\&P(t)=P_0 e^{ln \sqrt 3\,·\,t}= P_0 \sqrt {3^t}\\&\\&\text{o si lo prefieres}\\&\\&P(t)=P_0·3^{t/2}\\&\\&\\&\\&\text{c) A las 36 horas será}\\&\\&P(36)= P_0·3^{36/2}=P_0·3^{18}=387420489\,P_0\end{align}$$d) No sé lo que quieren decir en este apartado. Lo único que se puede hacer es dar un valor a Po, supongo que quieren decir eso, se lo das y haces los cálculos, si haces Po=1 será lo más sencillo.
Sa lu dos.
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muchísimas ¡Gracias! voy a calcular según la forma que lo expreso
Ya decía que no tenía claro lo que piden en d) pero creo que lo que piden es dar un número inicial de bacterias. Entonces tu puedes dar el que quieras:
Po=1
Po=10
Po = 123456
Lo más sencillo sería con Po=1 y así no hay que hacer cuentas nuevas, pero voy a poner Po=8 y así hay que hacer alguna.
Entonces el problema y replanteamiento de los incisos anteriores sería que dicen sería:
En condiciones ideales una colonia de bacterias se triplica cada dos hora. Si en el instante inicial hay 8 bacterias.
Obtén la función que modela el comportamiento y justifica el porqué de esta elección.
• ¿Cuál es el tamaño de la población después de 8 horas?
• ¿Cuál es el tamaño después de t horas?
• Dar un aproximado de la población después de 36 horas.
Y la respuesta sería:
La función que modela el comportamiento es una función exponencial del tipo
P(t) = 8e^(kt)
o bien
P(t) = 8·3^(kt)
Ambas son equivalentes, naturalmente la constante k será distinta en los dos casos. Usar una u otra depende de la forma en la que os lo hayan enseñado. Yo usé la primera forma porque es lo habitual en ciertos problemas pero al final llegué a una expresión de la segunda forma.
a) Para el tamaño de la población a las 8 horas será
A las 2 horas habrá 3· 8 = 24
A las 4 horas habrá 3·24 = 72
A las 6 horas habrá 3·72 = 216
A las 8 horas habrá 3·216 = 648
b)
$$\begin{align}&P(t)=8e^{kt}\\&\\&\text{A las 2 horas será el triple que a la hora 0}\\&\\&P(2) = 3·8= 8e^{2k}\\&\\&3 = e^{2k}\\&\\&\\&ln\,3=2k\\&\\&k = \frac{ln\,3}{2}=ln \sqrt 3\\&\\&P(t)=8 e^{ln \sqrt 3\,·\,t}= 8 \sqrt {3^t}\\&\\&\text{o si lo prefieres}\\&\\&P(t)=8·3^{t/2}\\&\\&\\&\\&\text{c) A las 36 horas será}\\&\\&P(36)= 8·3^{36/2}=8·3^{18}=3099363912\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Disculpe Sr. Valero podria dar un ejemplo de la respuesta D? - anonimo anonimus
Ya he ampliado la respuesta con lo que yo creo que piden el el apartado d) - Valero Angel Serrano Mercadal
Buenos días Sr. Valero. Quisiera saber que es lo que representan las siguientes letras en las fórmulas utilizadas en la solución de este ejercicio: P, ln, e, k. Muchas gracias por su siempre ayuda... - PeAr JeMa
PeAr. P(t) es la función población y depende del tiempo, ln es la función logaritmo neperiano, e es el número e, k es una constante que hay que calcular. Todas esas cosas deberías saberlas más o menos o tienes un nivel anterior muy bajo y no podrás seguir lo que escriba. - Valero Angel Serrano Mercadal
gracias maestro - jose daniel cebreros pardo
¿Hola buen día y si se triplicaran cada hora como quedaría a las 12 y 48 horas si tenemos como inicio 10 bacterias? - Yessica Jaime