Hallar la ecuación de la esfera con el centro en C(2,3,-1) que corta a la recta : (5x-4y+3z+20=0 y 3x-4y+z-8=0 ) una cuerda de .

·

·

¡Hola Sebastián!

Tendrías un sistema de ecuaciones con un parámetro con dos ecuaciones lineales pero una no lineal. Tendría dos respuestas dependientes del parámetro y tendrías que hacer que la distancia entre las dos respuestas fuera 16.

Siempre habrá tiempo para hacer eso, deja que prueebe de otra forma

Obtengamos la ecuación paramétrica de la recta. Para ello calculamos el vector director con el producto vectorial

| i      j    k|

| 5   -4   3| = -8i +4j - 8k

| 3   -4   1|

·

Podemos tomar más simplificado el vector

2i - j + 2k

que vale exactamente lo mismo.

Ahora necesitamos un punto de la recta.  Si lo tomamos con x=0

-4y + 3z + 20 = 0

-4y + z - 8 = 0

Restando la segunda a la primera

2z + 28 = 0

z = -14

-4y -14 - 8 = 0

-4y = 22

y = -11/2

El punto es (0, -11/2, -14)

Luego la ecuación de la recta es

(x,y,z) = (0, -11/2, -14) + t(2, -1, 2)

x = 2t

y= -11/2 - t

z= -14 + 2t

Si la esfera tiene un radio r será

$$\begin{align}&(x-2)^2 + (y-3)^2+(z+1)^2 = r^2\\&\\&\text{Sustituyendo los puntos de la recta}\\&\\&(2t-2)^2 + \left(-\frac{11}{2} - t -3\right)^2 + (-14 +2t +1)^2 = r^2\\&\\&(2t-2)^2 + \left(-\frac{17}{2} - t \right)^2 + (2t-13 )^2 = r^2\\&\\&4t^2-8t+4+\frac{289}{4}+17t+t^2 + 4t^2-52t+169=r^2\\&\\&9t^2+43t+ 173+\frac {289}4= r^2\\&\\&36t^2 +172t +981-r^2=0\\&\\&t = \frac{-172\pm \sqrt{172^2-144(981-r^2)}}{72}=\\&\\&\frac{-172\pm \sqrt{144r^2-111680}}{72}\\&\\&\text{La distancia entre las dos respuestas es}\\&\\&t_2-t_1=\frac{\sqrt{144r^2-111680}}{36}\\&\\&\text{Tengamos en cuenta que el vector entre las dos mide}\\&|t_2-t_1| ·||(2,-1,2)||=|t_2-t_1| \sqrt{2^2+1^2+2^2}=\\&\\&3|t_2-t_1|\\&\\&\text{Luego si quermos que la distancia sea 16 debe ser}\\&\\&3·\frac{\sqrt{144r^2-111680}}{36}=16\\&\\&\sqrt{144r^2-111680}=192\\&\\&144r^2 -111680 = 36864\\&\\&144r^2 = 148544\\&\\&r^2 = \frac{9284}{9}\\&\\&\text{luego la ecuación de la esfera será}\\&\\&(x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2= \frac{9284}{9}\end{align}$$

Y eso es todo, revisa bien todas las cuentas por si me he equivocado en algún sitio, como no sabía exacatemente si se podía hacer iba más pendiente de desarrollar el método que de las cuentas a hacer.

Saludos.

:

:

Valero, Muchísimas Gracias por tu ayuda, una consulta en la respuesta que tengo del libro el radio es igual a 17 y la verdad ya me confundí, me podrías echar una mano.

Gracias de antemano!

Es fácil que me haya equivacado con tanta cuenta. Deja que resuelva el sistema con r=17 con Maxima. En efecto, el radio 16. Pero yo estoy convencido de mi método, voy a buscar el fallo.

Veo que puse un 43t donde había que poner -43t y que no multipliqué por 4 el r^2

$$\begin{align}&(x-2)^2 + (y-3)^2+(z+1)^2 = r^2\\&\\&\text{Sustituyendo los puntos de la recta}\\&\\&(2t-2)^2 + \left(-\frac{11}{2} - t -3\right)^2 + (-14 +2t +1)^2 = r^2\\&\\&(2t-2)^2 + \left(-\frac{17}{2} - t \right)^2 + (2t-13 )^2 = r^2\\&\\&4t^2-8t+4+\frac{289}{4}+17t+t^2 + 4t^2-52t+169=r^2\\&\\&9t^2-43t+ 173+\frac {289}4= r^2\\&\\&36t^2 -172t +981-4r^2=0\\&\\&t = \frac{+172\pm \sqrt{172^2-144(981-4r^2)}}{72}=\\&\\&\frac{+172\pm \sqrt{576r^2-111680}}{72}\\&\\&\text{La distancia entre las dos respuestas es}\\&\\&t_2-t_1=\frac{\sqrt{576r^2-111680}}{36}\\&\\&\text{Tengamos en cuenta que el vector entre las dos mide}\\&|t_2-t_1| ·||(2,-1,2)||=|t_2-t_1| \sqrt{2^2+1^2+2^2}=\\&\\&3|t_2-t_1|\\&\\&\text{Luego si queremos que la distancia sea 16 debe ser}\\&\\&3·\frac{\sqrt{576r^2-111680}}{36}=16\\&\\&\sqrt{576r^2-111680}=192\\&\\&576r^2-111680 = 36864\\&\\&576r^2 = 148544\\&\\&\end{align}$$

Y no sale pero por muy poco.  Lo he repasado cienveces y no veo el fallo, mira a ver si tu desde fuera puedes verlo y hacer que el resultado sea 16

¡Gracias! 

A la tercera va la vencida. Me equivoqué en el producto vectorial, luego en lo primero:

| i      j    k|

| 5   -4   3| = 8i +4j - 8k

| 3   -4   1|

·

Podemos tomar más simplificado el vector

2i + j - 2k

Que sirve exactamente para lo mismo.

No voy a tomar el vector unitario, es un engorro. Al final ya tendremos en cuenta que cada unidad que aumenta el coeficiente del vector, el vector aumenta en 3 unidades en lugar de una.

Ahora necesitamos un punto de la recta.  Si lo tomamos con x=0

-4y + 3z + 20 = 0

-4y + z - 8 = 0

Restando la segunda a la primera

2z + 28 = 0

z = -14

-4y -14 - 8 = 0

-4y = 22

y = -11/2

El punto es (0, -11/2, -14)

Luego la ecuación de la recta es

(x,y,z) = (0, -11/2, -14) + t(2, 1, -2)

x = 2t

y= -11/2 + t

z= -14 - 2t

$$\begin{align}&(x-2)^2 + (y-3)^2+(z+1)^2 = r^2\\&\\&\text{Sustituyendo los puntos de la recta}\\&\\&(2t-2)^2 + \left(-\frac{11}{2} + t -3\right)^2 + (-14 -2t +1)^2 = r^2\\&\\&(2t-2)^2 + \left(-\frac{17}{2} + t \right)^2 + (-2t-13 )^2 = r^2\\&\\&4t^2-8t+4+\frac{289}{4}-17t+t^2 + 4t^2+52t+169=r^2\\&\\&9t^2+27t+ 173+\frac {289}4= r^2\\&\\&36t^2 +108t +981-4r^2=0\\&\\&t = \frac{-108\pm \sqrt{108^2-144(981-4r^2)}}{72}=\\&\\&\frac{+172\pm \sqrt{576r^2-129600}}{72}\\&\\&\text{La distancia entre las dos respuestas es}\\&\\&t_2-t_1=\frac{\sqrt{576r^2-129600}}{36}\\&\\&\text{Tengamos en cuenta que el vector entre las dos mide}\\&|t_2-t_1| ·||(2,-1,2)||=|t_2-t_1| \sqrt{2^2+1^2+2^2}=\\&\\&3|t_2-t_1|\\&\\&\text{Luego si queremos que la distancia sea 16 debe ser}\\&\\&3·\frac{\sqrt{576r^2-129600}}{36}=16\\&\\&\sqrt{576r^2-129600}=192\\&\\&576r^2-129600 = 36864\\&\\&576r^2 = 166464\\&\\&r^2 = \frac{166464}{576}=289\\&\\&r=\sqrt{289}=17\\&\\&\end{align}$$

Por fin, sabía que tenía que salir.

Sa lu dos.

:

:

Luego la respuesta es:

$$\begin{align}&(x-2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=289\end{align}$$

Sa lu dos.

¡Gracias! 

Valero una ultima consulta, me puede explicar por favor el procedimiento en que restas t2-t1? porque a mi me sale una respuesta distinta, 

Eres un capo

Gracias de nuevo!

Como puedes ver no puese bien la expresión final de t, era un copiar y pegar y después modificar lo que cambiaba y siempre se olvida cambiar alguna cosa.

$$\begin{align}&t = \frac{-108\pm \sqrt{108^2-144(981-4r^2)}}{72}=\\&\\&\frac{-108\pm \sqrt{576r^2-129600}}{72}\\&\\&t_1=\frac{-108-\sqrt{576r^2-129600}}{72}\\&\\&t_2=\frac{-108+\sqrt{576r^2-129600}}{72}\\&\\&\text{La distancia entre las dos respuestas es}\\&\\&t_2-t_1=\frac{-108+\sqrt{576r^2-129600}}{72}-\frac{-108-\sqrt{576r^2-129600}}{72}=\\&\\&\frac{-108+\sqrt{576r^2-129600}+108+\sqrt{576r^2-129600}}{72}=\\&\\&\frac{2\sqrt{576r^2-129600}}{72}=\frac{\sqrt{576r^2-129600}}{36}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Eso me parece que querías decir.