Continuidad evitable o inevitable de una función en punto

Una disccontinuidad es evitable es cuando no existe el valor de la función en un punto pero existe el límite (finito). Entonces, definiendo el valor de la función en el punto como ese límite se evita la discontinuidad.

El ejemplo típico lo puedes tomar de esos límites que dan 0/0 pero dividiendo por algo resulta un límite finito.

Por ejemplo la función

f(x) = (x^2+2x+1)/(x^2-1)

en el punto x=1

En ese punto no está definida la función ya que se anula el denominador.

Pero el límite es:

$$\begin{align}&L=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\frac{1-2+1}{1-1}=\frac 00\\&\\&L=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0\end{align}$$

Luego si en la definición de la función añadimos

f(0) = 0

Ya tenemos una función continua.

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Y es inevitable cuando en el punto de discontinuidad no existe el límite. Puede ser porque los límites limites laterales son distintos o porque el límite es intinito.

Como ejemplo de límite infinito tienes todas las que valen 0 en el denominador y en el numerador algo distinto de 0

f(x) = x^2/cos(x)

es discontinua inevitable en x=pi/2, 3pi/2, 5pi/2, ...

Además se llama discontinuidad de salto infinito.

Y que tenga dos límites finitos distintos es más difícil, debe ser una función a trozos

f(x)  =  x   si   x<=0

            x^2 + 1 si x >0

En el punto 0 el límite por la izquierda es 0 y por la derecha 1, es una discontinuidad inevitable. Esta es llama de salto finito.

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Y eso es todo, saludos.

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