Tengo dudas sobre demostraciones algebraicas

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Hola Gino!
Te hago el 1. Se basa en la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica:

$$\begin{align}&\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\\&dem \\&(a-b)^2 \geq0\\&a^2-2ab+b^2 \geq0\\&\\&sumando \ 4ab\\&\\&a^2+2ab+b^2 \geq 4ab\\&(a+b)^2 \geq4ab\\&\\&raiz:\\&(a+b) \geq 2 \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}  \ (c.q.d.)\\&\\&volviendo \ a \ tu \ ejercicio:\\&\sqrt {ab} \geq \frac{2ab}{a+b} \Rightarrow \frac{a +b}{2} \geq \frac{ab}{\sqrt{ab}}  \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}\end{align}$$

$$\begin{align}&\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\\&dem \\&(a-b)^2 \geq0\\&a^2-2ab+b^2 \geq0\\&\\&sumando \ 4ab\\&\\&a^2+2ab+b^2 \geq 4ab\\&(a+b)^2 \geq4ab\\&\\&raiz:\\&(a+b) \geq 2 \sqrt{ab} \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}  \ (c.q.d.)\\&\\&volviendo \ a \ tu \ ejercicio:\\&\sqrt {ab} \geq \frac{2ab}{a+b} \Rightarrow \frac{a +b}{2} \geq \frac{ab}{\sqrt{ab}}  \Rightarrow \frac{a+b}{2} \geq \sqrt {ab}\end{align}$$

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I el 5)

Se hace utilizando la misma desigualdad anterior de las medias

$$\begin{align}&\\&\frac{a+b}{2}  \geq \sqrt{a+b}\\&hago \ las \ medias \ con\ a^3 \ i \ ab^2\\&y \ también \ para \ b^3, \  \ i \ ba^2:\\&\\&\frac{a^3+ab^2}{2}\geq \sqrt{a^3·ab^2} \Rightarrow a^3+ab^2 \geq 2 \sqrt[3]{a^4b^2}=2a^2b\\&\\&\frac{b^3+ba^2}{2} \geq \sqrt{b^3·ba^2} \Rightarrow b^3+ba^2 \geq2 \sqrt{b^4a^2}=2b^2a\\&sumando \ las \ dos \ últimas \ desigualdades:\\& (a^3+b^3)+(ab^2+ba^2) \geq2(a^2b+ab^2)\\&trasponiendo\\&\\&(a^3+b^3) \geq(a^2b+ab^2)\\&\\&c.q.d.\end{align}$$

saludos

;)

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Y ahora el 3)

Utilizaré estas dos desigualdades:

(

$$\begin{align}&i)\\& a^2+b^2=(a-b)^2+2ab \Rightarrow a^2+b^2 \geq 2ab\\&ii)\\&(a+b)^2=(a-b)^2+4ab \Rightarrow (a+b)^2 \geq4ab\\&\\&como \  a+b=1   \Rightarrow aplicando(**):\\&1^2\geq4ab\\&\\&ab \leq \frac{1}{4}\\&\\&Ahora \ aplico (*) con \ \ a^2  \ \ y \ \ b^2:\\&(a^2)^2+(b^2)^2 \geq2(a^2)(b^2) \Rightarrow a^4+b^4 \geq2(ab)^2\\&\\&y  \ como \ se \ cumple  \ que \ 2(ab)^2 \leq2(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{8}\\&\\&\Longrightarrow a^4+b^4 \geq \frac{1}{8}\\&c.q.d.\\&\\&\\&\end{align}$$

c.q.d. (como queríamos demostrar)
Saludos

;)

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Bueno ahora te haré el 0)

Que se hace exactamente igual que el anterior:

$$\begin{align}&De (**)\\&a+b=2 \\&\\&(a+b)^2\geq4ab \Rightarrow 2^2 \geq4ab \Rightarrow ab \leq1\\&\\&De(*)\\&a^2+b^2 \geq2ab\\&(a^2)^2+(b^2)^2 \geq2(a^2)(b^2)\\&\\&a^4+b^4 \geq2 (ab)^2\\&\\&y \ como  \ \ \ \ ab \leq1 \\&\Longrightarrow\\&a^4+b^4\geq2(1)^2\\&\\&a^4+b^2\geq2\\&\\&c.q.d.\end{align}$$

saludos

;)

;)

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(*)=i)

(**)=ii)

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¡Gracias!