Obtener los limites de integración
Quiero calcular la integral
$$\begin{align}&\int\int\int_W (1-z^2)dxdydz\end{align}$$donde W es la pirámide con vértice superior(0,0,1) y cuyos vértices en la base son (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) y(1,1,0).
No veo nada claros los límites de la integral, creo que la proyección sobre el plano XY es un cuadrado y entonces
$$\begin{align}&0\le x\le 1\\&0\le y\le 1\end{align}$$Pero la z no se como varía y no estoy seguro de que x e y los tenga bien delimitados.
1 respuesta
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¡Hola Jorge!
Los límites en z serán entre el suelo y el punto donde la proyección desde el suelo corte a la pirámide. La pirámiode tiene cuatro caras que son cuatro planos, pero hay dos que son verticales, luego la proyección no los cortará. Si dibujas el cuadrado de la base con la diagonal que va de (0,0,0) a (1,1,0), lo que está por encima de la diagonal cortará a uno de los otros planos y lo que está por debajo al otro, luego en principi parece que deberías dividir en esa dos partes el domínio de integración, a lo mejor al final se puede hacer todo conjunto.
Yo calcularía las ecuaciones de esos planos para hacer fácil el calculo.
El que cortarán los puntos de la parte superior de la diagonal pasa por
(0,0,1), (0,1,0), (1,1,0)
se ve claramente que es el plano
y+z=1
Si no lo ves resuelve el determinate con x, y, z arriba y dos vectores entre puntos en las filas 2 y 3 y todo ello igualado a 0
dado un punto (x,y,0) su proyección ortogonal cortará al plano y+z=1 en
z=1-y
Luego ese será el límite superior de z.
Y los puntos de debajo de la diagonal cortaran al plano que pasa por
(0,0,1), (1,0,0), (1,1,0)
el plano es
x+z=1
y el límite superior para estos es
x=1-z
Pues malas noticias, los límites superiores de z son distintos según donde están los puntos y hay que hacer dos integrales.
$$\begin{align}&\iiint_W(1-z^2)dx\,dy\,dz=\\&\\&\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-y}(1-z^2)dz\,dy\,dx + \int_0^1\int_0^{x}\int_0^{1-x}(1-z^2)dz\,dy\,dx \end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no lo ves claro ayúdate por dibujos para ver como va la figura y como tienen que definirse los límites de integración.
Saludos.
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¡Gracias!
En los puntos de debajo de la diagonal decía que su preyección cortaba al plano
x+z=1
Y luego decía que el límite superior era x=1-z
No era eso ya que quería calcular el límite supuerior para z, luego lo correcto es
z =1-x
Aunque luego en las integrales estaba todo bien.
