Volumen de región limitada por dos superficies
Tengo que calcular el volumen de la región limitada por las siguientes superficies
$$\begin{align}&z=x^2+y^2\\&\end{align}$$y
$$\begin{align}&z=10-x^2-2y^2\end{align}$$Mi duda es si estoy poniendo bien los límites de integración, según yo creo, se tendría
$$\begin{align}&x^2+y^2\leq z\leq 10-x^2-2y^2\\&-\sqrt{\frac{10-2x^2}{3}}\leq y \leq \sqrt{\frac{10-2x^2}{3}}\\&-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}\end{align}$$¿Estoy en lo cierto? Porque luego no llego a la solución final que me han dado, y creo que el problema pueda estar en los límites de integración.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Jorge!
Calculemos la intersección de las dos superficies
$$\begin{align}&x^2+y^2=10-x^2-2y^2\\&\\&3y^2=10-2x^2\\&\\&y=\pm \sqrt{\frac{10-2x^2}{3}}\\&\\&\text{Y los límites de x deben ser tales que}\\&\\&10-2x^2\ge0\\&2x^2\le 10\\&x^2\le 5\\&-5\le x\le5\end{align}$$Pues los límités de integración están bien, tendrás el fallo más tarde si es que lo tienes. No siempre la respuestas están bien.
La respuesta es:
$$\begin{align}&\frac{25 \sqrt 2 \pi}{\sqrt 3}\approx 64.12749151\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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