Resolver la ec. Diferencial: y''-2y'+y=xe^x +4, y(0)=y'(o)=1
y''-2y'+y=xe^x +4 ,si: y(0)=y'(o)=1
La respuesta sería: y=4xe^x - 3e^x + (x^3/6)e^x + 4
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Oli!
Es una ecuación lineal de coeficientes constantes no homogénea.
La solución es la solución general de la homogénea más una solución particular de la ecuación completa.
Para la solución general de la homogénea tomamos la ecuación caraterística
k^2 - 2k + 1 = 0
(k-1)^2 = 0
k-1=0
k=1
Luego tiene dos ríces reales repetidas. La teoría dice que en este caso la solución general de la homogénea es:
$$\begin{align}&y_{gh}=C_1e^{kx} +C_2xe^{kx}\\&\\&y_{gh}=C_1e^x+C_2xe^x\\&\\&\text{Ahora hay que hallar una particular para}\\&\\&y''-2y'+y = xe^x+4\\&\\&\text{Siendo n el grado, para que salga un }\\&P_n(x)e^{mx}\\&\text{en el resultado, hay que probar con un}\\&a)\; Q_n(x)e^{mx}\quad\; \text { si m no es raíz de la e.c.}\\&b)\; xQ_n(x)e^{mx}\quad \text{si m es raíz simple de la e.c.}\\&c)\; x^2Q_n(x)e^{mx}\quad \text{si m es raíz doble de la e.c.}\\&\\&\text{Como en este caso es } xe^{x}\implies n=1,m=1\\&\text{como m=1 es raíz doble de la e.c. debemos usar el caso c}\\&\\&\text{Para que salga el 4 la particular debe tener el 4}\\&\\&y_p=x^2(ax+b)e^x+4=(ax^3+bx^2)e^x+4\\&\\&y'_p=(3ax^2+2bx+ax^3+bx^2)e^x=(ax^3+(3a+b)x^2+2bx)e^x\\&\\&y''_p=\left(3ax^2+(6a+2b)x+2b+ax^3+(3a+b)x^2+2bx\right)e^x=\\&\qquad\left(ax^3+(6a+b)x^2+(6a+4b)x+2b \right)e^x\\&\\&\text{Sustituyendo en la ecuación diferencial}\\&\\&\left(ax^3+(6a+b)x^2+(6a+4b)x+2b \right)e^x +\\&-2(ax^3+(3a+b)x^2+2bx)e^x +\\&+(ax^3+bx^2)e^x+4\;=\;xe^{x}+4\\&\\&(a-2a+a)x^3e^x+(6a+b-6a-2b+b)x^2e^x+\\&+(6a+4b-4b)xe^x+2b+4= xe^x+4\\&\\&\text{justo la primera línea es 0}\\&\\&6axe^x+2b+4= xe^x+4\\&\\&6axe^x+2b= xe^x\\&\\&\text{Luego debe ser}\\&\\&2b=0\implies b=0\\&6a=0\implies a=\frac 16\\&\\&\text{Luego }\\&\\&y_p= (ax^3+bx^2)e^x+4=\frac 16x^3e^x+4\\&\\&\text{Y la solución general de la completa es}\\&\\&y=y_{gh}+y_p=C_1e^x+C_2xe^x+\frac 16x^3e^x+4\\&\\&\text{Para que } y(0)=1\implies C_1+4=1\implies C_1=-3\\&\\&y'=-3e^x+C_2(e^x+xe^x)+\frac 16(3x^2+x^3)e^x\\&\\&\text{Para que }y'(0)=1\\&\\&-3+C_2=1\\&\\&C_2=4\\&\\&\text{Luego la solución del problema de conyde contorno es}\\&\\&y=-3e^x+4xe^x+\frac 16x^3e^x+4\\&\\&\end{align}$$Que como puedes comprobar es la respuesta que te dicen.
