Demostración analítica de un teorema geométrico
Demuestra el siguiente teorema:
Si es un punto cualquiera sobre una circunferencia, entonces los segmentos de recta que unen a dicho punto con los extremos de un diámetro son perpendiculares.
Sugerencia:
Un diagrama de manera que el diámetro se encuentre sobre uno de los ejes, además coloca el centro de la circunferencia en el origen del sistema de coordenadas.
- Uno de los vértices.
Se pide:
Utiliza la distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras para demostrar que el triángulo es rectángulo.
1 Respuesta
·
·
¡Hola Ninzaj!
Esta pregunta
Un experimento implica lanzar un par de dados, uno verde y uno rojo
La calificaste solo como buena con todo lo que cuesta te parezca o no realizar el diagrama de conjuntos. Si le subes la nota colaboraré con esta.
Saludos.
:
:
La circunferencia tiene radio a
Luego el punto (x, y) estará a distancia a del centro (0,0)
$$\begin{align}&a=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}= \sqrt{x^2+y^2}\\&x^2+y^2=a^2\\&\\&\text{Entonces las distancias desde los extremos}\\&\text{ del diametro al punto (x,y) serán:}\\&\\&d((0,a),(x,y)) = \sqrt{(x-0)^2+(y-a)^2}=\\&\sqrt{x^2+y^2-2ay+a^2}=\sqrt{a^2-2ay +a^2}=\\&\sqrt{2a^2-2ay}\\&\\&d((0,-a),(x,y))= \sqrt{(x-0)^2+(y+a)^2}=\\&\sqrt{x^2+y^2+2ay+a^2}=\sqrt{a^2+2ay +a^2}=\\&\sqrt{2a^2+2ay}\\&\\&\text{Y la suma de los cuadrados de esas distancias es}\\&\\&2a^2-2ay+2a^2+2ay= 4a^2 = (2a)^2\\&\\&\text{Que es el cuadrado del diámetro}\\&\\&\end{align}$$Luego esos tres lados cumplen el teorema de Pitagoras. Y aunque el teorema de Pitagoras no lo dice, el hecho de cumplirse esta igualdad significa que los lados cuyos cuadrados se han sumado forman un ángulo recto. Si el ángulo fuese otro nunca se daría esa igualdad.
Luego los segmentos de recta que unen un punto de la circunferencia con los extremos de un diámetro son perpendiculares.
