Para la siguiente transformación lineal encontrar núcleo e imagen de T y sus respectivas dimensiones

Para la siguiente transformación lineal encontrar núcleo e imagen de T y sus respectivas dimensiones:

T(x,y) = (y,0)

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Respuesta
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¡Hola Patricio!

El núcleo son los elementos del espacio origen tales que su imagen es el vector nulo

T(x,y) = (y,0) = (0,0)

de aqui se deduce

y=0

luego

Ker T ={(x, 0) | x Є K}

He puesto K como el cuerpo del espacio vectorial, normalmente es R pero por si acaso.

La dimensión es 1 ya que es un espacio que se genera con la base

B{(1,0)}

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La imagen son los elementos del conjunto destino que tienen algún elemento del origen relacionado con ellos. Sea (c, d) un elemeno de la imagen

T(x,y) = (c, d)

(y, 0) = (c, d)

y=c

0=d

sirve cualquier  c ya que y contiene todos los valores

pero d está obligado a valer 0

Luego el conjunto imagen es

Im T = {(c, 0) | c Є K}

Y tiene dimensión uno ya que se puede generar con la base

B={(1, 0)}

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