Teoría de conjunto, necesito demostrar
- Si A y B son conjuntos, entonces:
- (A ∩ B) ∩ (A – B) =0 o conjunto vacio
- (A – B) ∪ (A ∩ B) ∪ Ac = U
2 respuestas
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¡Hola Monserrat!
Citaré primero esas reglas básicas que son necesarias, luego ya veré cuáles tengo que usar y añadiré otras sobre la marcha.
$$\begin{align}&1)\quad A-B = A\cap B^c\\&2)\quad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c\\&3)\quad(A\cup B)^c = A^c\cap B^c\\&4)\quad A\subseteq B\;y\; B\subseteq A\implies A=B\\&5)\quad A \cap A^c=\emptyset\\&6)\quad A\cap \emptyset = \emptyset\\&7) \quad A\cup U = A\\&\\&\text{Nos piden demostrar que:}\\&\\&(A\cap B)\cap(A-B)=\emptyset\\&\\&\text{Usaremos la 1}\\&\\&(A\cap B)\cap(A\cap B^c)=\\&\\&\\&\text{Y ahora es todo cuestión de usar las}\\&\text{propiedades conmutativa y asociativa}\\&\\&A\cap (B\cap(A\cap B^c))=\\&A\cap ((B\cap A)\cap B^c)=\\&A\cap ((A\cap B)\cap B^c)=\\&A\cap (A\cap (B\cap B^c))=\\&\\&\text{Por la 5)}\\&\\&= A\cap (A\cap \emptyset)=\\&\\&\text{Por la 6) dos veces}\\&\\&= A\cap \emptyset=\emptyset\\&\\&------------------\\&\text{La proxima vez manda un solo ejercicio}\\&\text{en cada pregunta}\\&\\&(A-B)\cup(A\cap B)\cup A^c=\\&\\&\text {Por 1)}\\&\\&(A\cap B^c)\cup(A\cap B)\cup A^c=\\&\\&\text{Por la propiedad distributiva aplicada al revés}\\&\\&[A\cap(B\cup B^c)] \cup A^c =\\&\\&(A \cap U) \cup A^c=\\&\\&\text{Por 7)}\\&\\&A\cup A^c = U\end{align}$$Y eso es todo, esepero que te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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Como me ha hecho notar Gustavo la propiedad 7 está mal, el símbolo correcto sería el de la intersección.
$$\begin{align}&7)\quad A \cap U = A\end{align}$$Luego, el primer ejercicio puede parecer complicadao pero no lo es, es porque yo me he empeñado en usar la propiedad asociativa y conmutativa con todo el rigor, en realidad una vez se hace la primera sustitución y queda la intersección de A, B, A y Bc ya se puede decir que la intersección es vacia por estar B y Bc.
La demostración de Alfonso se basa en
$$\begin{align}&A\cap(B-C) = (A\cap B)-(A\cap C)\end{align}$$que no es una de las propiedades más significadas.
Saludos.
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Para la primera yo creo que la explicación es esta
(A ∩ B ∩ A) - (A ∩ B ∩ B) = (A ∩ B ) - (A ∩ B) = Conjunto vacío
Profe, creo que el enunciado de la propiedad 7) está mal. Aunque después está bien usado, creo que la definición no es correcta. Saludos! - Anónimo
Gracias, es verdad, confundí el símbolo. Te haces un lio con el \cup y el \cap. Es la intersección y no la unión - Valero Angel Serrano Mercadal