Se debe considerar una placa circular

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¡Hola Mila!

Debemos hallar los puntos críticos de la función, después comprobar si son máximos o mínimos. Y dependiendo de lo que salga los maxímos absolutos serán los máximos relativos hallados o estarán en la frontera de la placa.

Calculamos las derivadas parciales e igualamos a 0

$$\begin{align}&T(x,y)=x^3+y^3+3xy\\&\\&T_x(x,y)=3x^2+3y=0\\&T_y(x,y) = 3y^2+3x=0\\&\\&\text{Simplificamos las ecuaciones.}\\&x^2+y=0\\&y^2+x=0\\&\\&\text{despejamos y en la primera}\\&y=-x^2\\&\\&\text{y la llevamos a la segunda}\\&x^4+x=0\\&\\&x(x^3+1)=0\\&\\&x=0\implies y=0\\&x^3+1=0\implies x^3=-1\implies x=-1\implies y=-1\\&\\&\text{Los puntos críticos son }(0,0)\; y\;(-1,-1)\\&\\&f(0,0) = 0\\&f(-1,-1)= -1-1+3=1\\&\\&\text{Y ahora veamos los valores en la frontera.}\\&\text{Son puntos de la forma}\\&3 \sqrt 2(\cos\, t, sen t)\quad  \forall t \in [0,2\pi)\\&\\&f(t)=T(x,y)=54 \sqrt 2 \cos^3t+54 \sqrt 2sen^3t+54 sentcost\\&\\&f'(t)=54(-3 \sqrt 2cos^2t\,sent+3 \sqrt 2sen^2tcost+\cos^2t-sen^2t)=\\&\\&54\bigg(3 \sqrt 2 (sent \,cost)(sent-cost) +(cost+sent)(cost-sent)\bigg)=\\&\\&54(sent-cost)(3 \sqrt 2sent\,cost-cost-sent)=0\\&\\&\end{align}$$

Y eso se pasa de lo que humanamente se puede ejecutar.  El primer paréntesis es 0 para t=pi/4 y 5pi/4 pero el segundo no hay quien lo calcule

Para t=pi/4  tenemos f(pi/4) =81

Para t=5/pi/4 tenemos f(5pi/4) = -27

Para t=0 tenemos f(0) = 76.367

Y faltaría calcular en los puntos que anulan el segundo factor de la derivada. Los he calculado con WolframAlpha y son:

0.318902 ==> f(0.318902) = 83.81908

1.251894 ==> f(1.251894) = 81.81908

2.95036 ==> f(2.95036) = -81.81908

-1.379562 ==> f(-1.379562) = -81.81908

Por lo tanto el maximo es para t=0.318902 que corresponde al punto (x, y)=(4.242574971, 0.023613949)

Y los mínimos son en dos puntos para t=2.95036 y t=-1.379562 que te dejo a ti calcularlos.

Y eso es todo, espero que te sirva.

Saludos.

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