Principios de superposición, dependencia e independencia lineal

Son demasiados ejercicios para una sola pregunta. Te dejo la última parte de ecuaciones diferenciales

$$\begin{align}&a) 4y''-2y'-6y=0\\&\text{Planteando la Ec característica}\\&4m^2-2m-6=0\\&m_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot4\cdot(-6)}}{2\cdot4}=\frac{2\pm 10}{8}\\&m_1=3/2=1.5\\&m_2=-1\\&Solución\\&y=C_1e^{3/2x}+C_2e^{-x}\\&\\&b) y''-8y'+16y=0\\&\text{Planteando la Ec característica}\\&m^2-8m+16=0\\&m_{1,2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot(16)}}{2\cdot1}=\frac{8\pm 0}{2}\\&m=4\ (doble)\\&Solución\\&y=C_1e^{4x}+C_2x e^{4x}\\&\end{align}$$

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Te ayudo con el segundo ejercicio:

Hice uso de una herramienta informática hermano, el inglés no es tan complicado.

Un cordial saludo!

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¡Hola Anónimo!

Yo haré algo del primero.

1a)

Son linealmete dependientes

f2(x) = x^2

f3(x) = 3x^2

Tienes

3·F2(x) - f3(x) = 0 para todo x de (-inf, inf)

·

1b)

Son linealmente dependientes, tienes

f1(x) - 8·f2(x) - 8f3(x) =

8 - 8cos^2(x) - 8sen^2(x) =

8 - 8[cos^2(x)+sen^2(x) =

8 - 8·1 = 0   para tdo x de (-inf, inf)

·

1c)

f1(x)=2x

f2(x)=2x+1

f3(x)=3x+2

Son dependientes porque son funciones de dos parámetros lo que daría un espacio vectorial de dimensión 2 y todo conjunto de más de dos vectores es dependiente. Pero vamos a hacerlo por definición

2 0

2 1

3 2

Hacemos las típicas operaciones de filas

2 0

0 1

0 2

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2 0

0 1

0 0

Las operaciones hechas en la tercera fila han sido

f3-(3/2)f1 - 2(f2-f1) = f3 + (1/2)f1-2·f2

Lo comprobamos

3x+2 + (1/2)2x - 2(2x+1) =

3x + 2 + x - 4x +2 = 0

Luego

f3(x) + (1/2)f1(x) - 2·f2(x) = 0  para todo x de (-inf, inf)

·

1d)

f1(x) = 3-x

f2(x) = x+1

f3(x) = x^2 + 2

las ponemos como vectores con el orden ax^2+bx+c

0  -1   3

0   1   1

1  0   2

a la primera le sumamos la segunda

0   0  4

0   1  1

1   0  2

El determinante de esto es 1·1·4 = 4

Luego los vectores son independientes.

Esas tres funciones son linealmente independientes.

·

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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