Estudiar por la derecha y por la izquierda los siguientes limites

Esta pregunta es fácil de responder si conoces la gráfica de la función tangente

f(x)=sen(x)/cos(x)=tan(x)

$$\begin{align}&\lim_{x \to \ (\frac{\pi}{2})^+}\frac{senx}{cosx}=\frac{1}{-0}=-\infty\\&\\&\lim_{x \to \ (\frac{\pi}{2})^-}\frac{senx}{cosx}=\frac{1}{+0}=+\infty\\&\\&\\&\lim_{x \to \ (\frac{-3\pi}{2})^+}\frac{senx}{cosx}=\frac{1}{-0}=-\infty\\&\\&\lim_{x \to \ (\frac{-3\pi}{2})^-}\frac{senx}{cosx}=\frac{1}{0}=+\infty\end{align}$$

Observa el gráfico en x=pi/2  y  en x=-3pi/2

Para deducirlo también puedes sacar el signo del infinito teniendo en cuenta el signo del seno y coseno en el cuadrante correspondiente.

Tantoen x=pi/2 como en x=-3pi/2 el seno tiende a 1 y el coseno a cero. Recuerda que pi/2 es 90º y -3pi/2=-270º=90º; luego en realidad es el mismo límite.

A la izquierda de 90º, tienes el primer cuadrante, donde el seno y el coseno son positivos(+infinto)

A la derecha de 90º, tienes el segundo cuadrante donde el seno es +, y el coseno es

- (-Infinito).

¡Gracias! Profesor. NO se porque sale valoración negativa te de que revisar a ver

Tendrías que cambiar el voto

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$$\begin{align}&\text{Llevamos el ángulo a }[0,2\pi)\text{ súmándole }2\pi\\&\\&-\frac{3\pi}{2}+2\pi = \frac{\pi}{2}=90º\\&\\&\lim_{x\to-\frac {-3\pi}2} \frac {sen x}{cosx}=\lim_{x\to-\frac {\pi}2} \frac {sen x}{cosx}\\&\\&\text{Por la izquierda son los x menores de }\frac {\pi}2= 90º\\&\text{Luego seno y coseno son positivos y tiende a }+\infty\\&\text{ya que cosx tiende a }0\\&\text{Por la derecha el coseno de los x es negativo}\\&\text{ y el seno positivo, el límite tiende a }-\infty\\&\\&\lim_{x\to\left(-\frac {-3\pi}2\right)^-}\frac{senx}{cosx}=\frac{1}{0^-}=+\infty\\&\\&\lim_{x\to\left(-\frac {-3\pi}2\right)^+}\frac{senx}{cosx}=\frac{1}{0^+}=-\infty\end{align}$$

Y en Pi/2 está resuelto ya, son los mismos que en -3pi/2, hay una aplicación biyectiva entre los entornos de -3pi/2 y pi/2 de forma que esta aplicación respeta el ser de derecha o izquierda.

$$\begin{align}&\text{La aplicación biyectiva es:}\\&\\&f(x) = x+2\pi\\&\\&\text{Si x es punto por la izquierda de }-\frac{3\pi}{2}\\&x\lt-\frac{3\pi}{2}\iff f(x)= x+2\pi\lt \frac \pi2\\&\\&\text{y si lo es por la derecha}\\&\\&x\gt-\frac{3\pi}{2}\iff f(x)=x+2\pi\gt \frac \pi2\end{align}$$

Y eso es todo.

He cometido una errata típica del copiar y pegar al no quitar el signo menos del límite tras pegar, lo correcto es

$$\begin{align}&\lim_{x\to-\frac {-3\pi}2} \frac {sen x}{cosx}=\lim_{x\to\frac {\pi}2} \frac {sen x}{cosx}\end{align}$$