Calcular limite y verificar por definición.
Lim cuando n tiende a infinito de ( 2n +1/2) pi. Sen ( (2n +1/2) pi) . Demostrar y justificar usando la fórmula
. Epsilon
Mayor a cero existe un n que pertenece a los naturales tal que si por es mayor a N entonces el modulo de la función menos el limite es menor a epsilon .
Se la escribo profe, mi celular no tiene simbología.
2 Respuestas
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Si es esto
$$\begin{align}&\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2n+1}2 \right)\pi\, sen\left[\left( \frac{2n+ 1}2 \right)\pi\right]\\&\end{align}$$la respuesta es que no existe el límite.
Ya que el seno va tomando argumentos pi/2, 3pi/2, 5pi/2, 7pi/2,...
Y los valores de esos senos son 1, -1, 1, -1
Y la sucesión tenderá a + infinito y a -infinito, por lo tanto no hay límite.
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Y eso es todo.
Es cierto lo que dice Gustavo, si tu función es como dice él, y es esa la que debería ser, el límite es infinito. Lo que pasa es que yo sé por experiencia que la mayoría de la gente se olvida de poner los paréntesis y por eso los puse, a lo mejor hice mal.
Por otra parte todos los alumnos saben que los senos y cosenos son funciones periódicas y se repiten cada 360º, ó 2·pi radianes, por lo cual
sen(2npi + pi/2) = sen(pi/2)
Con lo cual no es necesario usar la fórmula del seno de la suma de ángulos que es posible que muchos de ellos no hayan dado todavía.
¡Gracias!
Vale, si la función que supuse no era la correcta, me lo dices, calculo el límite de la otra función y la valoras excelente. Pero por el hecho de que otro experto ya te haya contestado lo que quieres, no puedes dejar de hacer eso y crear un agravio comparativo. Conviene tener a todos los expertos contentos y a los más expertos más.
Si profe, es como dice gustavo !😊ok no hay problema vuelva a calcular y la valoro excelente. Un abrazo !
Pues hagamos el límite que tenía que haber hecho a la primera, fui yo el que alteré lo que ponía.
$$\begin{align}&\lim_{n\to \infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)\pi\, sen\left[\left( 2n+ \frac{1}2 \right)\pi\right]=\\&\\&2n\pi \;\text{ son vueltas completas a la circunferencia,}\\&\text{luego pueden quitarse y es el mismo seno}\\&\\&=\lim_{n\to \infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)\pi\, sen \frac{\pi}{2}=\\&\\&como\;sen \frac{\pi}{2}=1\;y \;\pi \text{ es una constante}\\& \\&=\pi\lim_{n\to\infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)=\pi·\infty=\infty\end{align}$$Y eso es todo.
Vale: según los parentesis, yo interpreto la función de manera distinta a como lo hizo el profe Valero. Fijate cual es la correcta y quedate con la solución acorde...
$$\begin{align}&\lim_{n\to \infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)\pi\, sen\left[\left( 2n+ \frac{1}2 \right)\pi\right]\\&(distribuyendo\ \pi \ en\ el \ seno)\\&\lim_{n\to \infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)\pi\, sen\left( 2n \pi+ \frac{1}2\pi \right)\\&(sabemos\ que)\\&sen (\alpha + \beta) = sen(\alpha)\cos(\beta) + sen(\beta)\cos(\alpha)\\&(retomando...)\\&\lim_{n\to \infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)\pi\, \Bigg(sen( 2n \pi)\cos(\frac{1}2\pi) +\cos( 2n \pi)sen(\frac{1}2\pi) \Bigg)\\&(sabemos\ que \ \cos (\pi/2) = 0 \land sen(\pi/2) = 1,\ luego)\\&\lim_{n\to \infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)\pi\, \cos( 2n \pi) \\&(y\ ahora \cos(2n\pi) = 1 \ (si\ n \in N))\\&\lim_{n\to \infty}\left(2n+\frac{1}2 \right)\pi \rightarrow \infty \ (cuando \ n \to \infty)\\&\\&\\&\end{align}$$