Demostrar que para todo n que pertenece a Z, n>2, existe p primo tal que n < p < n!

·

n! = n(n-1)(n-2)(n-3) ····3·2·1

Tomemos el número m = n! - 1, se pueden dar dos casos

1)

Si m es primo ya está

2)

Si m no es primo tendrá factores primos, veamos que esos factores son todos mayores que n, con lo cual cualquiera de esos factores primos será mayor que n y menor que n!

Hay una propiedad del máximo comun divisor, que dice que suponiendo a<b

mcd(a,b) = mcd(a, b-a)

En realidad la propiedad es más amplia y se podria restar n veces a siempre que la resta fuera positiva.

Entonces aplicado esto a m y n! Tendremos

mcd(m,n!) = mcd(m, n!- m) = mcd(m, 1) = 1

Luego m y n! No tienen ningún factor común.  Como n! Tiene los factores 2,3,4,..., n, entonces m no puede tener ninguno de ellos y el factor primo que debe tener será mayor que n. Luego en este caso segundo también hay un primo mayor que n y menor que n!

·

Y eso es todo.