Demostración series de convergencia condicional
Demuestre que si una serie es condicionalmente convergente entonces existen reordenaciones tales que las sumas de las nuevas series son iguales a +infinito y - infinito
El teorema que aplica es el de Riemann que dice:
Sea ∑_(n=1)^∞ a_n una serie condicionalmente convergente de números reales, entonces para cada x∈R hay una reordenación, la cual converge a x.
Pero con la demostración que hice la Maestra me dice que estoy mal, sería muy larga poner además algo que esta mal, pero sus comentarios fueron que
En lugar de escoger una constante C fija, puedes sumar los términos positivos hasta que rebasen C luego los negativos hasta que la suma sea menor que C pero luego sumas los positivos hasta que la suma sea mayor que C+1 y así sucesivamente. Para la parte de menos infinito puedes empezar con los términos negativos y repetir lo de antes para una constante negativa –K y después para –K-1
Maestro Valero, podría Usted ayudarme
1 Respuesta
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Primero hay que hacer notar que la serie es condicionalmente convergente pero no es absolutamente convergente. Si fuera absolutamente convergente no sería cierto lo que nos dicen.
Al no ser absolutamente convergente la suma de los valores absolutos de los términos es infinita. Luego al menos la suma de los positivos o los negativos no está acotada.
Pero si una estuviera acotada y la otra no, entonces la suma total no estaría acotada. Seria un
+infinito -k = +infinito
o un
k - infinito = -infinito
Y la serie no sería condicionalmente convergente. Absurdo.
Luego tenemos que tanto la serie de los números positivos como la de los negativos son divergentes, eso nos garantiza tener munición inagotable de ambas.
Entonces empezaré con la que diverge a +infinito
Tomemos la serie de los positivos a_n y la de los negativos b_n
Tomare el primer término negativo b1, luego tomare tantos términos positivos como necesite para que su suma sea mayor que el valor absoluto del termino negativo mas una unidad. La serie será así:
b1, a1, a2, ..., a_m
de tal forma que se cumple
b1+a1+a2+a_m > 1
El hecho que te dije antes de que ambas series eran divergentes nos garantiza que siempre habrá terminos en a_n capaces de sumar lo que necesitamos.
Y ahora tomo el siguiente elemento b_2 y despuás tomo tantos términos positivos como necesite para que la suma sea mayor que b2+1
b1, a1, a2,...,am, b2, a_(m+1), a_(m+2),...,a_(m+p)
Y entonces se cumple que la suma de la serie es
b1+ a1+ a2+...+am+ b2+ a_(m+1)+ a_(m+2)+...+a_(m+p) > 2
Repetimos el proceso indefinidamente, por cada elemento de b_n que añadimos la suma se incrementa en una unidad, luego el límite de la suma va a ser +infinito
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Y para la suma que diverge a - infinito se hace lo mismo pero al reves, tomamos el elemento a1, luego tomamos los elementos de b_n necesarios (que pueden ser solo uno) para que
a1+b1+b2+,,,+bm <-1
y luego añadimos a2 y los términos de b_n necesarios para que se cumpla
a2+ b_(m+1) +...+b(m+p) < -2
Y asi indefinidamente, luego el límite de la suma será -infinito.
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Y eso es todo.
