Ecuación diofántica

1) Una bodega debe entregar un pedido de 81000 litros de vino sin embotellar. Para ello posee camiones cisterna que transportan 3500 litros cada uno y remolques cisterna que transportan 1500. Cada camión puede llevar como mucho un remolque y, lógicamente, los remolques no pueden circular solos. Ademas, las cisternas deben ir llenas. Si la bodega quiere minimizar el numero de camiones utilizados, ¿cuántos camiones y remolques debe utilizar? ¿Y si cada camión pudiera llevar hasta dos remolques?.
2) Una maquina autoservicio se ha quedado sin cambio y solo puede devolver monedas de 1 euro, monedas de 2 euros y billetes de 5 euros. Si tiene que devolver 29 euros,
a) ¿Puede hacerlo? ¿Por qué?
b) En caso de ser posible, dar todas las posibles maneras de hacerlo.
3)En una bolsa hay monedas de 5, 10 y 20 céntimos. Se sabe que hay en total 24 monedas y que su valor es 2 euros. ¿Qué combinaciones de monedas son posibles?
4) Resolver el siguiente acertijo, propuesto en el siglo IX por el astrónomo indio Mahavira: un grupo de 23 viajeros llega a un campamento y encuentra 63 montones de sacos, todos con el mismo numero de sacos, y un montón adicional con 7 sacos. Si sabemos que los viajeros no podrán cargar con más de 50 sacos y pudieron repartirselos por igual y sin abrirlos, ¿cuántos
sacos había en cada uno de los montones?.

1 respuesta

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Respuesta de
¡Hola Carito1557!
La ecuación diofántica se decuce fácilmente:
Llamando "x" el número de camiones e "y" el número de remolques resulta:
3500x + 1500y = 81000 
en http://gaussianos.com/como-resolver-ecuaciones-diofanticas/
Verás los fundamentos teóricos y prácticos.
Y también te hará falta
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Euclides
La verdad es que no resulta muy fácil entederlo, por eso lo resolveré yo pero tienes que tener delante esas páginas para comprender lo que hago ya que no daré todas las explicaciones que para eso están allí.
La condición necesaria y suficiente para que esa ecuación tenga solución es que el mcd(3500,1500) divida a 81000. Ese máximo común divisor es 500 que divide a 81000 luego hay solución.
Para calcular una solución particular conviene usar el algoritmo de Euclides extendido en el cual se va calculando mcd(a, b) con a>=b como mcd( b, resto de a \ b) y se apuntan los cocientes.
3500/1500 = 2 y resto 500
1500/ 500 = 3 y resto 0
Ahora se forman estas matrices cuyo elemento 2,2 son los cocientes con signo menos en orden inverso a como se extrajeros y multiplicamos esas matrices. Por suerte solo hubo dos cocientes y nuestra operación es esta
|0   1 |     |0    1|       |1  -2|
|1  -3 | X  |1  -2|   =  |-3  7|
Pues los coeficientes son exactamente los de la primera fila.
En efecto mcd (3500,1500) = 1 x 3500 -2 x 1500 = 500
como 81000 / 500 es 162 multiplicaremos ambos miembros por 162 y tendremos
162 x 3500 -324 x 1500 = 81000
(162,-324) es una solución, pero no nos interesa y además carece de sentido porque buscamos una que sea natural en sus dos términos. Pero es el comienzo para hallar otras soluciones.
La teoría dice:
Si x0, y0 enteros son una solución particular de la ecuación ax + by =n
entonces todas las soluciones enteras de la misma son de la forma:
x = x0 + (b/d)t
y = y0  - (a/d)t
siendo de el mcd(a,b) y "t" cualquier número entero.
Pues con esto tenemos que nuestra ecuación tendra estas respuestas:
x = 162 + (1500/500)t = 162 + 3t
y = -324 - (3500/500)t = -324 - 7t
Deberemos elegir un "t" tal que "x" sea positivo lo menor posible para minimizar el número de camiones pero que a la vez "y" sea también positivo y menor que "x" porque no puede haber más remolques que camiones. Una primera aproximación puede obtenerse resolviendo la siguiente inecuación:
162 + 3t >= -324 -7t <==> 10t >= -486 <==> t   >= -48,6 ==> t  >= -48
Tomamos t= -48
x = 162 + 3·(-48) = 162 - 144 = 18
y = -324 -7·(-48) = -324 + 336 = 12
Por si no nos fiamos de la inecuación tomamos  t=-49 y tenemos
x =162 -3·49 = 15
y =-324 +7(49) = 19 
que en efecto no sirve por tener más remolques que camiones
Otros valores válidos podrían surgir con t=-47, -46, etc, pero son peores porque como podrás comprobar salen más camiones que con t =-48
En resumen, la mejor solución es 18 camiones y 12 remolques.
Y lo dejo aquí de momento porque tengo que hacer otras cosas y la cabeza me echa humo. Tampoco iba a dejar sin contestar y que otro se me adelantara con su respuesta después de todo lo que he sudado. Entonces ya contestaré el resto del ejercicio cuando pueda. Espero que te este sirviendo lo visto hasta ahora.
Un saludo.
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