Probar que si n pertenece a Z, entonces los numeros 2*n+1 y n*(n+1)/2 son coprimos

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Dos números son coprimos si no tienen ningún divisor común salvo el 1, o dicho de otras formas, si el MCD es 1, si no tienen ningún factor primo común, etc.

Sea p un factor primo cualquiera de 2n+1. Por supuesto p es impar ya que 2 no divide a 2n+1-

Primero vamos a ver que p no divide a n ya que si lo dividiera, n/p=k tendríamos

$$\begin{align}&\frac{2n+1}{p}=2k+\frac 1p\\&\\&\text{luego p no dividiría a 2n+1, absurdo.}\\&\\&\text{veamos ahora que p no divide a }\frac{n(n+1)}{2}\\&\\&\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{p}=\frac{n(n+1)}{2p}=\frac{n(2n+1-n)}{2p}=\\&\\&\frac{n(2n+1)}{2p}-\frac{n·n}{p}=\\&\\&\text{siendo }m=\frac{2n+1}{p}\\&\\&\frac{nm}{2}-\frac{n·n}p\\&\\&\text{Si n ó m son pares ya está, tendremos}\\&\\&q-\frac{n·n}{p} \\&\text{que no es entero porque p no divide a n}\\&\\&\text{Si n y m son impares, nm es impar, sea nm=2q+1}\\&\\&\frac {2q+1}{2}-\frac{nn}{p}=q+\frac 12-\frac{nn}{p}=\\&\\&q+\frac{p-2nn}{2p}\\&\\&p-2nn \text{ es impar  -par  = impar}\\&2p \text { es par}\\&\\&\text{Un par no divide a un impar, luego la división}\\&\text{no es entera.}\\&\\&\end{align}$$

Luego si p es factor primo de (2n+1) no lo es de n(n+1)/2, por lo tanto no tendrán ningún factor primo común y serán coprimos.

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Y eso es todo.

Hola Valero, desde ya muchas gracias por la respuesta, pero me quedo con una duda. Estaba viendo tu demostración, y no entendí esta parte:

$$\begin{align}&n*(2n+1−n)/2p=n*(2n+1)/2p−(n*n)/p=\end{align}$$

Como es que sacas el 2 del denominador en el segundo miembro cuando lo restas, ya que eso no queda igual a lo anterior segun lo que estoy viendo, es como si hubieras hecho n*(2n+1-2n)/2p, en ese caso si quedaria como lo hiciste pero ya no es lo mismo. Espero me puedas aclarar ese paso, muchas gracias!