Como resolver este ejercicio de integral para volumen
- El sólido formado al girar alrededor del eje por la región no acotada que queda entre la gráfica de f(x)= 1/x y el eje x (x≥1) se llama la trompeta de Gabriel.
La integral para calcular su volumen por el método de los discos está dado por:
$$\begin{align}&V=π∫_1^∞(1/x)^2 dx=π(1/(2-1))=π u^3 \end{align}$$El área de la superficie está dada por
$$\begin{align}&S=2π∫_1^∞1/x √(1+1/x^4 ) dx\end{align}$$Esta función es conocida como una paradoja, porque a pesar de que su volumen es , el área de su superficie es infinita. ¿Por qué crees que esto ocurre?, ¿cómo sabemos que su área es infinita?
Debes mejorar un poco las fórmulas, la del área es confusa.
Para poner un numerador y un denominador escribre
frac{x+1}{x^3-1}
Por ejemplo
En concreto la integral de la superficie es
$$\begin{align}&S=2\pi\int_1^{\infty}\frac{ \sqrt{1+\frac {1}{x^4}} }{x} dx\end{align}$$S=2\pi\int_1^{\infty}frac{ sqrt{1+frac {1}{x^4}}}{x} dx
Aunque me parece que no lo escribiste tú a mano sino que lo copiaste de algún documento. Para que salgan las fórmulas perfectas hay que aprender un poquito del lenguaje LaTeX.
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Es facíl demostrar que la integral del área es divergente, no obstante voy a ver si se podría obtener la función primitiva.
$$\begin{align}&\int\frac{ \sqrt{1+\frac {1}{x^4}} }{x} dx=\\&\\&t^2=1+\frac{1}{x^4} \implies x=\frac{1}{(t^2-1)^{1/4}}=(t^2-1)^{-1/4}\\&\\&dx=-\frac t2(t^2-1)^{-5/4}dt\\&\\&=-\frac 12\int t·(t^2-1)^{1/4}·t(t^2-1)^{-5/4}dt =\\&\\&-\frac 12\int t^2·(t^2-1)^{-1}dt=-\frac 12\int \frac{t^2}{t^2-1}dt=\\&\\&-\frac 12\int\left(1+\frac{1}{t^2-1} \right)dt=\\&\\&-\frac t2-\frac 12\int\left(\frac{a}{t+1}+\frac{b}{t-1} \right)dt =\\&\\&\text{se ve a primera vista }\;a=-\frac 12,\quad b=\frac 12\\&\\&=-\frac t2+\frac{ln|t+1|}{4}-\frac{ln|t-1|}{4}+C=\\&\\&-\frac 12 \sqrt{1+\frac 1{x^4}}+\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}+1 \right|-\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}-1 \right|+C\end{align}$$La superficie sera 2pi por la evalución de esa integral entre 1 y infinito
$$\begin{align}&S=2\pi\left[-\frac 12 \sqrt{1+\frac 1{x^4}}+\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}+1 \right|-\frac 14ln\left|\sqrt{1+\frac 1{x^4}}-1 \right|\right]_1^{\infty}=\\&\\&2\pi \left(-\frac 12+\frac 14ln\,2 -\frac 14ln\,0+\frac 12 \sqrt 2-\frac 14ln(\sqrt 2+1)+\frac 14ln(\sqrt 2-1) \right)\end{align}$$Y el logaritmo neperiano de 0 lo fastidia todo, tiene límite -infinito con lo cual la superficie es infinita.
Pero había una forma mucho más sencilla de demostrar que la superficie es infinita que es por comparación
$$\begin{align}&\frac{\sqrt{1+\frac 1{x^4}}}{x}\gt \frac 1x\implies\\&\\&\int_1^{\infty}\frac{\sqrt{1+\frac 1{x^4}}}{x}\gt \int_1^{\infty}\frac {dx}x=ln\,\infty-ln \,1=\infty\\&\\&\text {luego la integral diverge y la superficie es infinita}\\&\\&\\&\end{align}$$Esto sucede porque en el infinito el radio tiende a 0 y entonces el volumen interior es infinitamente menor que la superficie exterior. Ten en cuenta que volumen es una unidad cúbica y la superficie una cadrada
Tomando un trocito de longitud h del final de la trompeta el volumen es pi·h·R^2 y la superficie 2pi·h·R
La proporción superficie / volumen =2/R que cuando R tiende a 0 es una proporción infinita, luego la superficie es infinitamente superior al volumen.
Y eso es todo.
