Ejemplos de elimicinacion de gauss jordán

Un nutriologo prepara una dieta que consiste en los alimentos A B C y cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 3 ed grasa y 1 unidad de carbohidratos. Por su parte cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína 2 de grasa y dos de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 de grasa y 21 de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada tipo de alimento deben utilizarse?

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El método de Gauss-Jordan es el largo, el que no gusta hacer y menos en sitios como este donde tanto cuesta escribir matrices. Mientras que en el método de Gauss se obtiene la matriz triangular superior y se calculan ya las respuestas, en el de Gauss-Jordan se continua con operaciones de filas hasta obtener la matriz diagonal.

Bueno, vamos con el suplicio. Llamando a, b, c a las cantidades de los respectivos elementos tenemos

2a + 3b + 3c = 25

3a + 3b + 2c = 24

4a +  b  + 2c = 21

La matriz es:

2  3  3  | 25

3  3  2  | 24

4  1  2  | 21

Dividiremos la primera por -2, ¿por qué el signo -? Porque luego será mucho menos lioso sumar que restar. Vamos a aprevechar para en la misma matriz reflejar ya el resultado de sumar a la segunda la primera multiplicada por 3 y sumar a la tercera la primera multiplicada por 4

-1   -3/2     -3/2  | -25/2

0  3-9/2   2-9/2 |  24 - 75/2

0     -5        -4    |  -29

Hacemos las operaciones de la segunda fila que me pareció excesivo hacerlas en un solo paso

-1   -3/2     -3/2  | -25/2

 0   -3/2     -5/2  | -27/2

 0    -5         -4   |  -29

Ahora multiplicamos por (-2/3) la segunda y lo que resulte multiplicado por 5 lo sumamos a la tercera

-1   -3/2     -3/2     | -25/2

 0     1        5/3      |     9

 0    0       -4+25/3|   16

efectúo esa operación que no hice completa

-1   -3/2     -3/2  | -25/2

0 1 5/3  | 9

0 0 13/3  | 16

Vamos a dividir la cuarta por 13/3

-1   -3/2     -3/2 | -25/2

0 1 5/3  | 9

0 0 1 | 48/13

La tercera multiplicada por (-5/3) se suma a la segunda.

-1   -3/2     -3/2 | -25/2

 0      1         0   | 9 + (-5/3)(48/13) = 37/13

0 0 1 | 48/13

La cuarta multiplicada por (3/2) se suma a la primera

-1   -3/2       0 |-25/2 + (3/2)(48/13) = -181/26

0 1 0 | 37/13

0 0 1 | 48/13

Y la segunda por 3/2 se suma a la primera

-1   0   0 | -181/26+(3/2)(37/13)= -35/13

0 1 0 | 37/13

0 0 1 |48/13

Cambiamos el signo de la primera

1 0 0 | 35/13

0 1 0 | 37/13

0 0 1 | 16

Y esas son las onzas, como no son números decimales exactos y tienen un periodo feo se dejan asi

Alimento A =  35/13 onzas

Alimento B  = 37/13 onzas

Alimento C =  48/13 onzas

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Vamos a comprobar la respuesta

2a + 3b + 3c = 70/13 + 111/13 + 144/13= 325/13 = 25

3a + 3b + 2c =105/13 + 111/13 + 96/13 = 312/13= 24

4a +  b  + 2c =140/13  + 37/13+ 96/13 = 273/13 =21

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Luego está bien. Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si ni es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.

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