Como hallar el siguiente límite matemático.

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Vamos a probar primero sin usar la regla de l'Hôpital, multiplicando y dividiendo por el numerador con el signo del medio cambiado. Por si acaso no habéis dado eso de l'Hôpital

$$\begin{align}&\lim_{x \to -2}    \frac{3-\sqrt{x^2 + 5}}{3x+6}=\\&\\&\lim_{x \to -2}    \frac{3-\sqrt{x^2 + 5}}{3x+6}·\frac{3+\sqrt{x^2 + 5}}{3+\sqrt{x^2 + 5}}=\\&\\&\lim_{x \to -2}    \frac{9-x^2 - 5}{(3x+6)(3+\sqrt{x^2 + 5})}=\\&\\&\lim_{x \to -2}    \frac{4-x^2 }{(3x+6)(3+\sqrt{x^2 + 5})}=\\&\\&\lim_{x \to -2}    \frac{(2+x)(2-x)}{3(x+2)(3+\sqrt{x^2 + 5})}=\\&\\&\lim_{x \to -2}    \frac{(2-x)}{3(3+\sqrt{x^2 + 5})}=\\&\\&\frac{2-(-2)}{3\left(3+\sqrt{(-2)^2+5}\right)}=\frac{4}{3(3+3)}=\frac 29\\&\end{align}$$

Y por si lo has dsdo y puedes usarlo con l'Hôpital se calcula el límite de eso derivando numerador y denominador por separado.

$$\begin{align}&\lim_{x \to -2}    \frac{3-\sqrt{x^2 + 5}}{3x+6}=\\&\\&\lim_{x \to -2}    \frac{-\frac{2x}{2 \sqrt{x^2+5}}}{3}=\\&\\&\lim_{x \to -2}    \frac{-2x}{6  \sqrt{x^2+5}}= \frac{-2(-2)}{6·3}=\frac 29\end{align}$$

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Y eso es todo.

Saludos profesor Valero.

Mi pregunta es: Por que cambia el signo del 5 en el radical del numerador en la primera explicación, no debería quedar como +5

es decir 

$$\begin{align}&9-x^{2}+5\end{align}$$

Muchas gracias por su explicación.