Función de ingresos en matemáticas administrativas.
Profesor seria tan amable de auxiliarme con el siguiente problema...
La función de ingreso de su producto está dado por
$$$$
I(q)= -1/3 q2 + 60q . Por lo tanto, Determina: (la primera ¨q¨esta elevada al cuadrado)
- El cambio en los ingresos cuando la cantidad se incrementa de 30 a 70 unidades.
- El cambio en los ingresos cuando la cantidad disminuye de 150 a 100 unidades.
- La tasa de cambio promedio cuando la cantidad cambia de 50 a 100 unidades.
- La tasa de cambio instantánea cuando
- La cantidad que maximiza el ingreso y el ingreso máximo...
1 Respuesta
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1)
El cambio de los ingresos será:
I(70) - I(30) = -(1/3)70^2+60·70 - [-(1/3)30^2+60·30] =
-(1/3)4900 + 4200 + (1/3)900 - 1800 =
- 1633.33 + 4200 + 300 - 1800 = 1066.66
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2)
El cambio de los ingresos acelerando algo los pasos es
I(100) - I(150) = -(1/3)10000 + 6000 + (1/3)22500 - 9000 =
-3333.33 + 6000 + 7500 - 9000 = 1166.67
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3)
La tasa de cambio promedio es el cociente entre el incremento del precio y el incremento de la cantidad. Haré aún más rápidas las cuentas
Tasa = [I(100) - i(50)] / [100 - 50] =
[-3333.33 + 6000 + 833.33 - 3000] / 50 =
500/50 = 10
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4)
No pone cuando hay que calcularla.
No obstante es muy sencillo, la tasa de cambio instantánea es la derivada en el punto
I(q)=-(1/3)q^2+60q
Tasa instantánea(q) = I'(q) = -(2/3)q + 60
Pones en q el valor que te digan y haces la cuenta.
Por ejemplo, si fuese cuaando q=50
I'(50) = -(2/3)50 + 60 = -100/3 + 60 = -33.33333+ 60 = 26.66666
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5)
El máximo se calcula derivando el ingreso e igualando a 0. La derivada ya estaba calculada en el apartado anterior
-(2/3)q + 60 = 0
(2/3)q = 60
q = 60·3/2 = 90
Y el ingreso máximo es
I(90) = -(1/3)90^2 + 60·90 = -2700 + 5400 = 2700
Y eso es todo.
