Hallar la longitud de la curva

Idelver Bolanios!

1º Pondremos la función de forma explícita, y=f(x)

2º Aplicaremos la fórmula del cálculo integral para hallar la longitud.

3º Resolver la integral: Queda al final la integral de la secante, cuyo resultado es conocido, pero si quieres saber de donde viene ese resultado me mandas otra pregunta

Vamos alla:

$$\begin{align}&\ cosx=e^y \Rightarrow ln(cosx)=lne^y \Rightarrow ln(cosx)=y·lne \Rightarrow\\ &\\ &y=ln(cosx) \Rightarrow y ' = \frac{1}{cosx}(-senx)=-tanx\\ &\\ &\\ &\ L= \int_a^b \sqrt{1+(y ')^2}dx= \int_a^b \sqrt{1+(-tanx)^2}dx= \int_a^b \sqrt{1+(tanx)^2}dx=\\ &\\ &\int_a^b \sqrt{1+(\frac{senx}{cosx})^2}dx=\int_a^b \sqrt{\frac{\cos^2x+sen^2x}{\cos^2x}}dx=\\ &\\ &\int_a^b \sqrt{\frac{1}{\cos^2x}}dx=\int_a^b \sqrt{sec^2x} dx=\int_a^b secx\ dx=\\ &\\ &[ln(tanx+secx)]_{\pi/6}^{\pi/3}=ln(\sqrt{3}+2)-ln(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}})=\\ &\\ &ln \frac{\sqrt{3}+2} {\frac{2+1}{\sqrt{3}}}=ln\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+2)}{3}=\\ &\\ &ln \frac{3+2 \sqrt{3}}{3}=0,76752\\ &\end{align}$$

Muchas gracias, excelente por la respuesta y agradezco la disposición que tienes para ayudar 

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Muchas gracias y disculpa, hice el comentario pero no la califique tenias toda la razón