Sea U cualquier espacio, con cualquier norma ||,||
Demuestra que para todo u,v Ɛ U , se satisface la desigualdad:
||(1/2)(u+v)||^2 <= (1/2)||u||^2 + (1/2)||v||^2
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Omar Salcedo!
·
Toda norma cumple
||u|| >=0
||ku|| = |k|·||u||
||u+v|| <= ||u|| + ||v||
con esto tenemos en el lado izquierdo
||(1/2)(u+v)||^2 = ((1/2)||u+v||)^2 = (1/4)||u+v||^2 <= (1/4)(||u||+||v||)^2 =
(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 + (1/2) ||u||·||v||
Para ver que esto es menor que el lado derecho vamos restarlo del lado derecho y el resultado deberá ser positivo
(1/2)||u||^2 + (1/2)||v||^2 - {(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 + (1/2) ||u||·||v||} =
(1/2)||u||^2 + (1/2)||v||^2 - (1/4)||u||^2 - (1/4)||v||^2 - (1/2) ||u||·||v|| =
(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 - (1/2)||u||·||v|| =
(1/4)(||u|| - ||v||)^2 >=0
Ya que un cuadrado es no negativo.
