Sea U cualquier espacio, con cualquier norma ||,||

Demuestra que para todo u,v Ɛ U , se satisface la desigualdad:

||(1/2)(u+v)||^2 <=  (1/2)||u||^2 + (1/2)||v||^2

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1

Omar Salcedo!

·

Toda norma cumple

||u|| >=0

||ku|| = |k|·||u||

||u+v|| <= ||u|| + ||v||

con esto tenemos en el lado izquierdo

||(1/2)(u+v)||^2 = ((1/2)||u+v||)^2 = (1/4)||u+v||^2 <= (1/4)(||u||+||v||)^2 =

(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 + (1/2) ||u||·||v||

Para ver que esto es menor que el lado derecho vamos restarlo del lado derecho y el resultado deberá ser positivo

 (1/2)||u||^2 + (1/2)||v||^2 - {(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 + (1/2) ||u||·||v||} =

(1/2)||u||^2 + (1/2)||v||^2 - (1/4)||u||^2 - (1/4)||v||^2 - (1/2) ||u||·||v|| =

(1/4)||u||^2 + (1/4)||v||^2 - (1/2)||u||·||v|| =

(1/4)(||u|| - ||v||)^2 >=0

Ya que un cuadrado es no negativo.

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