Necesito su ayuda para resolver este problema de Dinámica...
Para un cuerpo en movimiento rectilíneo cuya aceleración está dada por a= 32– 4v sujeta a las condiciones iniciales x= 0 y v= 4, cuando t =0. Encuentre v como función de t, x en función de t y x en función de v.
Por favor incluyan el procedimiento hasta llegar al resultado.
1 Respuesta
Hogla Bernardo!
Esto es toda una ecuación diferencial, yo no sé si las habréis dado, pero salvo que hayáis dado una teoría muy específica para resolver este problema, lo que tenemos es un ecuación diferencial.
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo luego
v '(t) = 32 - 4v(t)
v '(t) + 4v(t) = 32
La ecuacíon homogenea es
v ' + 4v = 0
la ecuación característica
x+4 = 0
x=-4
La solución general de la homogénea es
v = C·e^(-4t)
Para calcular una solución particular de la completa tomamos una constante como solución particular
k' +4k = 32
0 +4k = 32
k = 8
La solución general de la ecuación completa es la general de la homogénea más la particular de la completa
v(t) = C·e^(-4t) + 8
Voy a comprobarlo para estar seguro
v '(t) + 4v = -4C·e^(-4t) + 4Ce^(-4t) + 32 = 32
Luego está bien.
Ahora sabemos que para t=0 ==> v=4
v(0) = C·e^(-4·0) + 8 = 4
Ce^(0) + 8 = 4
C + 8 = 4
C = -4
Luego la función definitiva de la velocidad es
v(t) = -4e^(-4t) + 8
La x(t) es la integral de v(t) respecto del tiempo
$$\begin{align}&x(t) = \int-4e^{-4t}dt = e^{-4t}+C\\ &\\ &\text{Para que en t=0 sea x = 0}\\ &\\ &x(0)= e^0+C=0\\ &\\ &C = -e^0=-1\\ &\\ &x(t) = e^{-4t}-1\end{align}$$Y finalmente nos queda expresar x en función de v
$$\begin{align}&x=e^{-4t}-1 \implies e^{-4t}=x+1\\ &v = -4e^{-4t}+8\implies e^{-4t}=-\frac v4+2\\ &\\ &\text {igualando}\\ &\\ &x+1 = -\frac v4 +2\\ &\\ &x= 1-\frac v4 \end{align}$$Y eso es tod.
¡Gracias! Le agradezco todo su apoyo, tiempo y dedicación, ojala tuviese profesores en la Universidad como Usted, que hacen ver fácil lo que para nosotros es difícil, créame que serían más entendibles las clases, mil gracias!
