Ayuda combinaciones y permutaciones
En clase me encargaron varios problemas de tarea pero hay uno que realmente no se como resolver, les agradecería mucho que me ayudaran y me explicaran para lograr entenderlo
El Departamento de Sistemas y Computación del Instituto Tecnológico de Morelia tiene 4 catedráticos con grado de Doctor, 19 con grado de Maestría y 5 con Licenciatura. Se desea formar comités para que participen en los exámenes de titulación. Los comités deben estar integrados por 4 elementos (Presidente, Secretario, Vocal y Vocal suplente).
a) ¿Cuantos comités se pueden formar si no se pone restricción alguna?
b) ¿Cuantos comités se pueden formar si se desea que dichos comités estén integrados por un Doctor, dos Maestros en Ciencias y un profesionista con grado de Licenciatura?
c) ¿Si todo deben tener por lo menos un grado de maestría?
d) ¿Si uno de los Doctores es Juan Manuel García y debe estar en todos los comités y los tres elementos restantes se seleccionan sin restricción?
2 Respuestas
a) Se resuelve con combinaciones la fórmula es
$$\begin{align}&C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}\end{align}$$Donde m es el total de los elementos
y n es el número de elementos que quieres tomar.
Entonces m = 4+19+5 = 28
m = 28
n = 4
Sustituyendo m y n en la fórmula
$$\begin{align}&C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!}\\ & \\ &C_{28}^4 = \frac{28!}{4!(28-4)!}\\ & \\ &Te \ pongo\ las \ multiplicaciones \ abreviadas, \ porque \ el \ factorial \ de\ 28\ es\ \\ &28*27*26*25 \ y \ así\ hasta \ el\ 1\\ & \\ &Pero \ en \ la \ fórmula \ queda \ así:\\ &C_{28}^4 = \frac{28·27·26·25}{4·3·2·1}\\ & \\ &C_{28}^4 = \frac{491400}{24}\\ & \\ &C_{28}^4 = 20474\end{align}$$a) ¿Cuantos comités se pueden formar si no se pone restricción alguna?
comités = 20474
b) ¿Cuántos comités se pueden formar si se desea que dichos comités estén integrados por un Doctor, dos Maestros en Ciencias y un profesionista con grado de Licenciatura?
comités = (Doctores 4) por (Maestros combinaciones de 2 con 19) por (lic 5)
$$\begin{align}&C_{19}^2 = \frac{19!}{2!(19-2)!}\\ & \\ &C_{19}^2 = \frac{19·18}{2·1}\\ & \\ &C_{19}^2 = \frac{342}{2}\\ & \\ &C_{19}^2 = 171\end{align}$$comités = 4 * 171 * 5
comités = 3420
c) Si entiendo bien, solamente se van a seleccionar maestros, entonces son combinaciones de 4 con 19
comités = 3876
d) Intenta resolver este inciso, si tienes dudas avísame
Saludos. Dante Amor
Laura Nava!
En total son 4+19+5 = 28 personas
Los comités son distintos si el presidente es distinto, o si lo es el secretario, el vocal o el vocal suplente.
Luego los comités no son las combinaciones de 28 elementos tomados de 4 en 4 sino las variaciones (puede que lo llaméis arreglos) de 28 elementos tomados de 4 en 4
a)
$$\begin{align}&V_{28}^4 = 28·27·26·25 = 491400\end{align}$$b)
Es 1 doctor de 4, 2 maestros de 19 y 1 licenciado de 5.
Las combinaciones posibles son
$$\begin{align}&C_4^1·C_{19}^2·C_5^1=\\ &\\ &4·\frac{19·18}{2·1}·5 = 4·171·5 = 3420\end{align}$$Ahora bien, esas solo son las combinaciones de personas, en función del cargo cada combinación de 4 personas puede formar 4! = 24 comités distintos, luego el número posible de comités es
3420·24 = 82080
c)
Son 4 entre 19
$$\begin{align}&V_{19}^4= 19·18·17·16=93024\end{align}$$d)
Entonces son 27 personas para 3 puestos. Calculamos primero las combinaciones, ya que sí calculamos directamente las variaciones va a salir un resultado distinto y erróneo
$$\begin{align}&C_{27}^3=\frac{27·26·25}{3·2·1}= 2925\end{align}$$Y ahora añadimos a don Juan y ya están los cuatro, y como el cargo tiene importancia, los cuatro pueden formar 24 comités distintos, luego el numero total es
2925 · 24 = 70200
·
¿Pero tú sabes cuáles son las respuestas correctas de verdad? ¿O te has dejado llevar por tu intuición?
Es muy peligroso hacer discriminaciones, puedes perder alguien que te responda preguntas futuras que el otro no sepa.