Hola, hay una cosita de matematicas que no entiendo que son las raíces y las radicales

Houda Essam!

Es muy sencillo, simplemente tienes que saber la correspondencia entre la representación con radicales y la rspresentación exponencial es esta

$$\begin{align}&\sqrt[m]{x^n}= x^{\frac nm}\end{align}$$

Es decir, el exponente va al numerador y el índice de la raíz al denominador. 

También debes tener en cuenta dos cosas triviales

$$\begin{align}&x=x^1\\ &\\ &\sqrt x=\sqrt[2]x\end{align}$$

Con eso no debe haber ninguna dificultad en transformar un sistema de notación en el otro.

De todas formas me parece que estos ejercicios no son los habituales, al editor de ecuaciones le va fatal el trabajar con exponentes, tiene que hacer la letra más pequeña y al final no se entiende nada.

Y otra cosa más, espera que voy a ver en la calculadora cuál es el orden preestablecido cuando hay una potencia tras otra

2^2^3 = 256

lo cual es lo mismo que 2^8 = 2^(2^3)

ya que (2^2)^3 = 4^3=64

luego

2^2^3 = 2^(2^3)

y cuando no se ponen paréntesis se efectúa primero la última potencia

$$\begin{align}&a)\;5^{\sqrt x}=5^{x^{\frac 12}}\\ &\\ &\text {O usando una altura menos}\\ &\\ &=5^{x^{1/2}}\\ &\\ &\\ &b)\; \text {No está claro lo que dices, si es esto}\\ &(3^{{\sqrt x}^2})^5=(3^x)^5 = 3^{5x}\\ &\text{y si es esto}\\ &\left(\left(3^{\sqrt x}\right)^2\right)^5=\left(3^{2 \sqrt x}\right)^5=3^{10 \sqrt x}=3^{10\,·\,x^{1/2}}\\ &\\ &\\ &c)  \text{De nuevo tengo dudas, si no hay paréntesis sería}\\ &\\ &15^{\sqrt a^6}=15^{a^{2/6}}=15^{a^{1/3}}\\ &\\ &\\ &d)  \text{Lo siento, si no lo veo escrito de forma natural }\\ &\text{no se puede entender, tiene mil interpretaciones}\\ &\\ &\\ &e)\; 3· \sqrt{\sqrt x} =3·\left(x^{\frac 12}\right)^{\frac 12}= 3x^{\frac 14}\\ &\\ &f)\;\text{ Si no hay paréntesis}\\ &\\ &n^{\sqrt m^{\sqrt a^k}}\\ &\end{align}$$

Y se es eso no le veo sentido al ejercicio, ya ves que tenemos cuatro alturas y no se ve nada.  ¿Qué quieren? ¿Que añadamos todavía dos más poniendo las raíces como exponentes?  Eso podrá escribirse en papel pero aquí queda un churro incomprensible. 

Si pudieras poner una foto de los ejercicios sería lo mejor.

Otra cosa es que debes usar el símbolo ^para introducir exponentes

x^2 es x al cuadrado

Y ser muy cuidadodoso con los paréntesis, exponentes compuestos van entre paréntesis salvo alguna excepción

x^2n sería (x^2)·n

Si quieres que el exponente sea 2n debes escribir

x^(2n)

En resumen, las expresiones con exponentes no son asociativas y admiten muchas interpretaciones, debe tenerse muy claro el orden de las operaciones. Entonces si no se puede mandar el dibujo, o escribir con el editor de ecuaciones, hay que usar unas normas muy estrictas para la escritura en una sola línea.

Espero te haya servido para algo y cuando puedas mandar los ejercicios de una forma visual o escrita que no admita ambiguedades puedo hacer más.