Conjuntos abiertosy cerrads en espacios de funciones

Lo primero que necesitaremos es un par de normas en el espacio de las funciones, por ejemplo la norma del supremo

$$\begin{align}&||f||_{\infty}= sup\{|f(x)|:x \in [a,b]\}\end{align}$$

y la norma

$$\begin{align}&||f||_1=\int_a^bf(x)dx\end{align}$$

Y las normas generan bolas abiertas o cerradas según se considere que la norma sea estrictamente menor que un valor o menor o igual.  Y luego las uniones finitas o las intersecciones finitas de abiertos o cerrados son abiertos o cerrados.

Con la norma del infinito tenemos este abierto por ejemplo

$$\begin{align}&A= \{f\in C_{[a,b]}|\quad -3\lt sup\{f(x):x\in[a,b]\}\lt8 \}\\ &\\ &\text{Y un cerrado, las funciones no positivas en ningún punto}\\ &\\ &C =  \{f\in C_{[a,b]}|\quad sup\{f(x):x\in[a,b]\}\le 0 \}\\ &\\ &\text {y con la norma 1 similar, un abierto}\\ &\\ &B=\left\{\left.f \in C_{[a,b]}\right|\quad\int_a^b|f(x)dx\lt5 \right\}\\ &\\ &\text {y un cerrado}\\ &\\ &D=\left\{\left.f \in C_{[a,b]}\right|\quad0\le\int_a^b|f(x)dx\le5 \right\}\end{align}$$

Y eso es todo.