Ejercicio de subespacios vectoriales.
Tengo que realizar el siguiente ejercicio de subespacios vectoriales y no sé cómo:
Sea V un Q-espacio vectorial de dimensión 4. Sean B = {u1,u2,u3,u4} y B' = {v1,v2,v3,v4} dos bases de V. Se consideran los siguientes subespacios vectoriales de V:
L1 = <u3,u4>, L_2 = <v1 – v2 + v3, v 1- 2v2 + 3v3, 2v1 - v2>.
1.- Determine las dimensiones de L1 y L2. ¿Qué dimensión puede tener la intersección de dos subespacios vectoriales de V con estas dimensiones?
Se supone en adelante que v1 = u1 ; v2 = u1 + u2 ; v3 = u2 + u3 ; v4 = u3 + u4.
2.- Halle una base de L1 intersección de L2, escribiendo sus elementos como combinación lineal de los vectores de la base B.
3.- Sea L = L1 + L2. Halle una base de V/L. Determine si los vectores u1+L y u2+L de V/L son iguales.
Gracias de antemano.
1 Respuesta
Rocio Nuñez!
1)
L1 tiene dimensión 2 porque sus dos vectores son linealmente independientes, ya que son vectores de una base
Para L2 tendremos que calcular el rango de la matriz formada por los 3 vectores
1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1
1 -2 3 ~ 0 -1 2 ~ 0 -1 2
2 -1 0 0 1 -2 0 0 0
Hay dos vectores linealmente independientes, luego la dimensión del espacio generado es 2.
La intersección puede tener dimesión 0, 1 ó 2. Puede ser 0 porque al ser el espacio de dimensión 4 podrian ser independienteslos vectores de las bases de L1 y L2. Y puede ser 1 si hay un vector de una base que puede ser generado con la otra, y puede ser 2 si los dos vectores de una base se pueden genrar con los de la otra.
2) Los vectores generadores de L2 serán
v1 – v2 + v3 = u1 -u1-u2 + u2+u3 = u3
v1 - 2v2 + 3v3 = u1 - 2u1 - 2u2 + 3u2 + 3u3 = -u1 + u2 + 3u3
2v1 - v2 = 2u1 - u1 - u2 = u1 - u2
Si antes habíamos dicho que tenía dimensión 2 tendrá que serlo
0 0 1 0 0 1 0 0 1
-1 1 3 ~ -1 1 0 ~ 0 0 0
1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0
Efectivamente, podemos generar L2 con los vectores
L2 = <u1-u2, u3>
Mientras que L1 era
L1 = <u3, u4>
La intersección es L1 n L2 = <u3> = {k·u3 | k E Q}
cualquier otro elemento de L2 no puede obtenerse con la base de L2 y viceversa
3)
El espacio L será
L = <u1-u2, u3, u4>
Es de dimensión 3, luego V/L tendrá dimensión
dim(V/L) = dim(V) - dim(L) = 4-3 = 1
El espacio V/L es el generado por un vector independiente con los de L, ya que dados dos vectores u y v generados con ese vector, u-v no pertenecerá a L y serán vectores distintos en V/L
por ejemplo la base puede ser u1, ya que es independiente de los vectores de L
V/L = <u1>
Los vectores u1+L y u2+L serán iguales si
u1 - u2 € L
y efectivamente se cumple ya que u1-u2 es uno de los vectores generadores de L.
Luego u1+L = u2+L
Y eso es todo.
Ya hace varios días que contesté. Puntúa la pregunta por favor, es todo lo que se pide por el trabajo realizado y posibilita que puedas hacer otras preguntas en el futuro.
