Division sintetica y teorema de raices
como encontrar todas las raíces del siguiente polinomio, por favor si me pueden explicar paso por paso
$$\begin{align}&2x^5+x^4-12x^3-22x^2-14x-3\end{align}$$
1 Respuesta
Perla Rodriguez!
Primero vamos a ver cuáles son los candidatos a raíz racional. Deben ser números racionales en la forma p/q con p y q primos entre sí de forma que p sea un divisor del término libre del polinomio y que q sea un divisor del coeficiente del término de mayor grado.
Es decir p divide a -3 y q divide a 2
p={-3, -1, 1, 3}
q={-2, -1, 1, 2}
Y esto nos proporciona esta lista de raíces pisibles distintas
r = { 3/2, 3, - 3, -3/2, 1/2, 1, -1, -1/2}
Yo los pondría en orden de esta forma, por dificultad.
r = {1, -1, 3, -3, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2}
Probamos con ellos, ya te dije la otra vez que no usaremos la división sintética para hacer pruebas porqu este es muy mal medio para hacerlo, en su lugar usaremos el teorema del resto
p(x) = 2x^5 + x^4 - 12x^3 - 22x^2 - 14x - 3
p(1) = 2 +1 -12 -22 -14 - 3 = -48 no sirve
p(-1) = -2 +1 + 12 -22 + 14 -3 = 0
Luego el 1 es raíz, calculamos la división sintética
2 1 -12 -22 -14 -3 -1 -2 1 11 11 3 ------------------------------ 2 -1 -11 -11 -3 | 0
Ahora tras dividir queda el polinomio
p(x) =2x^4 - x^3 -11x^2 - 11x - 3 =0
Probamos de nuevo con -1
p(-1) = 2 + 1 -11 +11 -3 = 0
Luego -1 es una raíz doble (de momento)
2 -1 -11 -11 -3 -1 -2 3 8 3 ---------------------- 2 -3 -8 -3 | 0
Y tras dividir queda el polinomio
p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = 0
Se prueba de nuevo con x=-1
p(-1) = -2 -3 + 8 - 3 = 0
Pues -1 ya es una raíz triple (de momento)
2 -3 -8 -3 -1 -2 5 3 ----------------- 2 -5 -3 | 0
Queda el polinomio
p(x) = 2x^2 - 5x - 3
Y como el -1 no ha fallado todavía se prueba de nuevo con él
p(-1) = 2 +5 - 3 = 4
Pongo de nuevo la lista del orden quie llevaba
r = {1, -1, 3, -3, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2}
Ahora le toca al 3
p(3) = 18 -15 - 3 = 0
Luego el 3 sirve y dividimos entre x-3
2 -5 -3 3 6 3 ----------- 2 1 | 0
Queda p(x) = 2x+1
Calculamos ya su raíz sin hacer pruebas
2x+1 = 0
2x = -1
x = -1/2
Luego las raíces son
r = {-1, -1, -1, 3, 1/2}
La factorización es
2(x+1)^3 · (x-3)·(x-1/2)
Y eso es todo.
Ya han pasado varios días desde que respondí esta pregunta, ¿podrías puntuarla por favor? No se te pide nada más por el trabajo que no fue poco.
