Condiciones iniciales utilizando la transformada

Juan Villega!

La solución "y" es una función f(t) y como tal tiene transformada de Laplace. Yo llamare z a la transformada de "y" para abreviar notación

L(y) = z

Vamos a empezar

2y' - y = 5t

Hacemos la transformada de los dos lados

L{2y'-y} = L{5t}

2L{y'} - L{y} = 5L{t}

2[sL{y}-y(0)] - z = 5/s^2

2(sz-1) - z= 5/s^2

2sz - z= 5/s^2 +2 = (5+2s^2)/s^2

z(2s-1) = (5+2s^2)/s^2

$$\begin{align}&z = \frac{5+2s^2}{s^2(2s-1)} =\frac 12·\frac{5+2s^2}{s^2\left(s-\frac 12\right)}\end{align}$$

Debemos descomponer la función racional en suma de otras más simples.

Cuando el denominador tiene raíces repetidas se ponen diversas potencias del denominador, así:

$$\begin{align}&\frac{5+2s^2}{s^2\left(s-\frac 12\right)}= \frac as+\frac b{s^2}+\frac c{s-\frac 12}=\\ &  \\ &  \frac{as\left(s-\frac 12  \right)+b \left(s-\frac 12  \right)+cs^2}{s^2\left(s-\frac 12\right)}\\ &  \\ &  \text {Luego}\\ &  \\ &  5+2s^2=as^2-\frac {as}{2}+bs -\frac b2+cs^2\\ &  5=-\frac b2\implies b=-10\\ &  0=-\frac a2-10\implies a=-20\\ &  2=-20+c\implies c=22\\ &  \\ &  Luego \\ &  \\ &  z= \frac 12 \left(-\frac{20}{s}-\frac{10}{s^2}+\frac{22}{s-\frac 12}  \right)=\\ & \\ & -\frac{10}s-\frac{5}{s^2}+ \frac{11}{s-\frac 12}\\ & \\ & \text {y ahora calculamos la inversa}\\ & \\ & y=-10-5t +e^{\frac t2}\end{align}$$