Continuidad de funciones multivariables
Determine si la función, f(x) = (x^2 + y^2)/(x^4 + y^4), si (x,y) diferente de (0,0)
= 0, si (x,y) = (0,0)
es continua en (0,0).
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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No, no es continua ya que límite debería ser 0 por cualquier camino que tendiese a (0,0), pero si tomamos el camino (h, 0) con h ---->0 tendremos
lim h-->0 de (h^2 + 0^2) / (h^4+0^4) =
lim h-->0 de h^2 / h^4 =
lim h-->0 de 1/h^2 = infinito
Solo con que haya un camino que tienda a (0,0) por el cual el límite sea distinto del valor de la función en (0,0), 0 en este caso, ya no es continua.
Y eso es todo.
Es más. Lo que resultaría milagroso sería encontrar un camino por el cual el límite fuese 0
$$\begin{align}&\left| \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4} \right|\gt \left| \frac{x^2+y^2}{x^4+2x^2y^2+y^4} \right|=\\ &\\ &\\ &\left| \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2} \right|= \frac{1}{x^2+y^2}\\ &\\ &Y\; si \sqrt{x^2+y^2}\rightarrow0\implies \frac{1}{x^2+y^2}\rightarrow \infty\end{align}$$El límite es infinito por cualquier camino.
