Convergencia o Divergencia de Integrales
Determine la convergencia o divergencia de la integral Int(x*arctag(x) dx) desde 0 a +infinito.
Nota: se trata de una integral definida entre 0 a +infinito.
$$\begin{align}& \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)\\ & \frac{1}{2}\displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty}(arctg(b)(b^2+1)-b)=\infty\end{align}$$
$$\begin{align}&\int_{0}^{\infty}{{xarctg(x)dx}}\\ &\displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^{b}{{xarctg(x)dx}}\\ &\\ &\end{align}$$Primero debemos resolver la integral, para aplicar luego el limite.
$$\begin{align}&\int_{0}^{b}{{xarctg(x)dx}}\\ &\\ &u=arctg(x)--> du=\frac{1}{x^2+1}dx\\ &dv=xdx-->v=\frac{x^2}{2}\\ &\\ &\int{udv}=uv-\int{vdu}\\ &\int_{0}^{b}{{xarctg(x)dx}}=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\int{\frac{x^2}{2}\frac{1}{x^2+1}dx}\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int{\frac{x^2}{x^2+1}}dx\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\int{(1-\frac{1}{x^2+1})}dx\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}(\int{dx}-\int{\frac{dx}{x^2+1})}\\ &=arctg(x)\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}(x-arctg(x))\\ &=\frac{1}{2}(x^2arctg(x)-x+arctg(x))\\ &=\frac{1}{2}(arctg(x)(x^2+1)-x)\\ &\\ &\end{align}$$Evaluamos entre 0 y b, la integral definida.
$$\begin{align}&=\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)-(\frac{1}{2}(arctg(0)(0^2+1)-0)\\ &=\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)-(0)\\ &=\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)\end{align}$$Aplicamos el limite para ver la convergencia o divergencia.
$$\begin{align}& \displaystyle\lim_{b \rightarrow \infty} \end{align}$$Aunque arcotangente de infinito es pi/2, el resto sigue dando infinito por lo tanto el limite completo da infinito entonces la integral impropia diverge.
Se desconfiguro un poco la respuesta, el final esta al principio xD.
Aplicamos el limite y quedaba esto:
$$\begin{align}&\lim_{b \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(arctg(b)(b^2+1)-b)\\ &\frac{1}{2}\lim_{b \rightarrow \infty}(arctg(b)(b^2+1)-b)=\frac{1}{2}\infty=\infty\\ &\\ &\\ &\end{align}$$
1 respuesta más de otro experto
Prof. Valero tome el "Int" como el símbolo de integración, osea que la expresión es una integral definida desde 0 a +infinito.
¡Ah!
Yo pensaba que logaritmo neperiano t (de algo)
Es que esta fuente no distingue entre la i mayúscula y la l minúscula.
Entonces hagamos la integral definida
$$\begin{align}&\int_0^{\infty}x·arctg(x) dx=\\ &\\ &\lim_{K\to\infty} \int_0^K x·arctg\,x\;dx=\\ &\\ &u=arctg\, x\quad du=\frac{dx}{1+x^2}\\ &\\ &dv=x \quad\quad v=\frac {x^2}2\\ & \\ &=\lim_{K\to\infty} \left(\left.\frac{x^2·arctg \,x}{2}\right|_0^K-\frac 12\int_0^K \frac{x^2dx}{1+x^2}\right)=\\ &\\ &\lim_{K\to\infty}\left(K^2·\frac{\pi}{2}-\frac 12\int_0^K\left(1 -\frac{1}{1+x^2} \right)dx\right)\\ &\\ &\lim_{K\to\infty}\left(\frac{\pi K^2}{2}- \frac 12\left[x-arctg\,x \right]_0^K\right)=\\ &\\ &\lim_{K\to \infty}\left(\frac{\pi K^2}{2}-\frac K2+arctg K\right)=\infty\end{align}$$Es así porque el arctg(oo) = pi/2 y el infinito de K^2 es mayor que el de K.
Y eso es todo.
¡Gracias! Se lo agradezco mucho Profesor, siga ayudando al estudiante de todos los confines del planeta, ¿por que donde no llegan ustedes?
Lugui, te recuerdo que no te voy a contestar más preguntas y te bloquearé si no cambias las puntuaciones que tienes como buenas por excelentes. Anda que no están bien respondidas y no han sido complicadas alguna.